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专题12多面体的外接球和内切球
一、结论
1.球与多面体的接、切
定义1;若一个多面体的各顶点都在一个球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是多面体的外接球。
定义2;若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是多面体的内切球。
类型一球的内切问题(等体积法)
例如:在四棱锥中,内切球为球,求球半径.方法如下:
即:可求出.
类型二球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法(补长方体或正方体)
①墙角模型(三条线两个垂直)
题设:三条棱两两垂直(重点考察)
②对棱相等模型(补形为长方体)
题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(,)
3、单面定球心法(定+算)
步骤:①定一个面外接圆圆心:选中一个面如图:在三棱锥中,选中底面,确定其外接圆圆心(正三角形外心就是中心,直角三角形外心在斜边中点上,普通三角形用正弦定理定外心);
②过外心做(找)底面的垂线,如图中面,则球心一定在直线(注意不一定在线段上)上;
③计算求半径:在直线上任取一点如图:则,利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法(两次单面定球心)
如图:在三棱锥中:
①选定底面,定外接圆圆心
②选定面,定外接圆圆心
③分别过做面的垂线,和做面的垂线,两垂线交点即为外接球球心.
二、典型例题
1.(2022·山西吕梁·一模(文))在《九章算术·商功》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图在鳖臑中,平面,则鳖臑内切球的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
解:因为四面体四个面都为直角三角形,平面,所以,设四面体内切球的球心为,则,
所以,
因为四面体的表面积为,
又因为四面体的体积,
所以,所以,
故选:B
【反思】本例中涉及到求内切球问题,典型的等体积法.
2.(2021·四川省南充高级中学高二期中(文))在三棱锥P-ABC中,两两垂直,则该三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
将三棱锥P-ABC补全为长方体,则长方体的外接球就是所求的外接球,设球半径为R,则,所以球的表面积为.
故选:D.
【反思】由题意,两两垂直,可直接用补形法,补成长方体,利用长方体求外接球.
3.(2021·全国·高一课时练习)已知三棱锥,在底面中,面,则此三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设三棱锥的外接球半径为R,已知其外接圆半径为1。根据正弦定理,有:
sin(A)=a/2R
sin(B)=b/2R
sin(C)=c/2R
由于a、b、c分别为三角形ABC的三条边长,所以可以得到:
a=2R*sin(A)
b=2R*sin(B)
c=2R*sin(C)
又因为三角形ABC的外接圆圆心为O,过点O作一条平行于BC的直线l,则球心一定在直线l上。设球心为O,连接OO,OA,OB,OC,则有:
OO=R-OD=R-(a^2+b^2+c^2)^(1/3)/4R^2=R-(a^2+b^2+c^2)^(1/6)/16R^2
OA=R
OB=R
OC=R
由于平面ABC与平面OCO垂直,且交线为l,所以有:
l$\perp$ABC
l$\perp$OCO
因此,可以得到:
OO$\perp$l
OA$\perp$l
OB$\perp$l
OC$\perp$l
由勾股定理可得:
OO^2+OA^2=OA^2+0A^2=R^2
OO^2+OB^2=OB^2+0B^2=R^2
OO^2+OC^2=OC^2+0C^2=R^2
综上所述,三棱锥的外接球半径为R=2,外接球表面积为S=4πR^2=16π。
故选:D
【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题,先确定的外接圆圆心,再过做的平行线,则可确定球心在该直线上,进而通过计算求出外接球半径.
4.三棱锥中,平面平面,和均为边长为的正三角形,则三棱锥外接球的半径为
【解析】:由于是正三角形,并且边长为2,所以的外接圆圆心为,则,同理可得的外接圆圆心为,可得到,分别过做面的垂线,过做面的垂线交于,因为平面平面,所以四边形为正方形,且,利用勾股定理:所以.
【反思】此题典型的双面定球心,由于选定的面,都是正三角形,故其外心都是中心,如果是普通三角形,可以采用正弦定理定外心.
三、针对训练举一反三
一、单选题
1.(2021·湖北黄冈·高一期末)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为,当该圆锥体积是球体积两倍时,该圆锥的高为()
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