专题12多面体的外接球和内切球.docx

专题12多面体的外接球和内切球

一、结论

1．球与多面体的接、切

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

类型一球的内切问题（等体积法）

例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：

即：可求出.

类型二球的外接问题

1、公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2、补形法（补长方体或正方体）

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直（重点考察）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）

3、单面定球心法（定+算）

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；

②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；

③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.

4、双面定球心法（两次单面定球心）

如图：在三棱锥中：

①选定底面，定外接圆圆心

②选定面，定外接圆圆心

③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.

二、典型例题

1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，则鳖臑内切球的表面积为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，设四面体内切球的球心为，则，

所以，

因为四面体的表面积为，

又因为四面体的体积，

所以，所以，

故选：B

【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.

2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P－ABC中，两两垂直，则该三棱锥的外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

将三棱锥P－ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为．

故选：D．

【反思】由题意，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.

3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，面，则此三棱锥的外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设三棱锥的外接球半径为R,已知其外接圆半径为1。根据正弦定理，有：

sin(A)=a/2R

sin(B)=b/2R

sin(C)=c/2R

由于a、b、c分别为三角形ABC的三条边长，所以可以得到：

a=2R*sin(A)

b=2R*sin(B)

c=2R*sin(C)

又因为三角形ABC的外接圆圆心为O,过点O作一条平行于BC的直线l,则球心一定在直线l上。设球心为O,连接OO,OA,OB,OC,则有：

OO=R-OD=R-(a^2+b^2+c^2)^(1/3)/4R^2=R-(a^2+b^2+c^2)^(1/6)/16R^2

OA=R

OB=R

OC=R

由于平面ABC与平面OCO垂直，且交线为l,所以有：

l$\perp$ABC

l$\perp$OCO

因此，可以得到：

OO$\perp$l

OA$\perp$l

OB$\perp$l

OC$\perp$l

由勾股定理可得：

OO^2+OA^2=OA^2+0A^2=R^2

OO^2+OB^2=OB^2+0B^2=R^2

OO^2+OC^2=OC^2+0C^2=R^2

综上所述，三棱锥的外接球半径为R=2,外接球表面积为S=4πR^2=16π。

故选：D

【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定的外接圆圆心，再过做的平行线，则可确定球心在该直线上，进而通过计算求出外接球半径.

4.三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为

【解析】:由于是正三角形，并且边长为2，所以的外接圆圆心为,则,同理可得的外接圆圆心为，可得到，分别过做面的垂线，过做面的垂线交于，因为平面平面，所以四边形为正方形，且,利用勾股定理：所以.

【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面，都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1．（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）