指数函数知识点总结.docx

指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，则叫做的次方根，其中1，且∈*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·；

（2）；

（3）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a1

0a1

定义域R

定义域R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．

(2)由22－1≥0，得定义域{≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－31≥0，得定义域是{≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

练习：（1）；（2）；（3）；

【例2】指数函数y＝，y＝，y＝，y＝的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C．b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，

则得b＜a＜1＜d＜c．

练习：指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().

【例3】比较大小：

(3)4.54.13.73.6

解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴4.54.1＞3.73.6．

说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

练习：（1）1.72.5与1.73(2)与

(3)1.70.3与0.93.1（４）和

【例5】作出下列函数的图像：

y＝21|(4)y＝|1－3

解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解(3)利用翻折变换，先作y＝2的图像，再把y＝2的图像向右平移1个单位，就得y＝21|的图像(如图2．6－6)．

解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解(1)定义域是R．

∴函数f(x)为奇函数．

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

单元测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、化简，结果是（）

A、B、C、D、

2、等于（）

A、B、C、D、

3、若,且,则的值等于（）

A、B、C、D、2

4、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）

A、B、C、D、

5、下列函数式中，满足的是()

A、B、C、D、

6、下列是（）

A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数

7、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

8、函数是（）

A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

9、函数的值域是（）

A、