线性矩阵不等式.ppt

*与前三个不同的是，这只是一个充分条件，且并不是一个线性矩阵不等式系统**白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。*关于线性矩阵不等式线性矩阵不等式概论第2页,共31页，星期六，2024年，5月线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：——仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为f(x)=Ax+b，这里，A是一个m×k矩阵，x是一个k向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从k维到m维的空间映射关系。设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为其中可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。第3页,共31页，星期六，2024年，5月凸（约束）问题定义（凸集）一个集合的连线仍在集合内。和及参数有称为的凸组合。称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点和将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中第4页,共31页，星期六，2024年，5月关于凸集定义的理解第5页,共31页，星期六，2024年，5月Schur补定理引理(SchurComplement)对于分块对称阵其中b)，且c)，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：第6页,共31页，星期六，2024年，5月Schur补应用若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具第7页,共31页，星期六，2024年，5月标准的线性矩阵不等式问题可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解检验是否存在x，使得成立。特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问题LinearMatrixInequality(LMI)第8页,共31页，星期六，2024年，5月系统性能分析第9页,共31页，星期六，2024年，5月连续时间系统3.1.1系统增益指标考虑第10页,共31页，星期六，2024年，5月L2范数对于平方可积的信号，定义其中是向量的欧式范数。这样定义的正好是信号的能量。将所有有限能量的全体记成即也称为信号的范数第11页,共31页，星期六，2024年，5月L∞范数对幅值有界的信号，定义当是一个标量信号时，等于的峰值。将所有幅值有界的信号全体记成即也称为信号的范数。第12页,共31页，星期六，2024年，5月四个性能指标IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：第13页,共31页，星期六，2024年，5月定理1---IE若有一最优值，则第14页,共31页，星期六，2024年，5月定理2---EP若有一最优值，则第15页,共31页，星期六，2024年，5月定理3---EE第16页,共31页，星期六，2024年，5月定理4---PP第17页,共31页，星期六，2024年，5月H2性能T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统第18页,共31页，星期六，2024年，5月用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数第19页,共31页，星期六，2024年，5月H∞性能增益有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数的范数，即第20页,共31页，星期六，2024年，5月用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立则有||T(s)||∞γ,且系统渐进稳定。第21页,共31页，星期六，2024年，5月证明：对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得记X=γP第22页,共3