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2024届山西省霍州市煤电第一中学高三下学期3月月考数学试题理试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()
A. B.
C.1 D.3
2.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()
A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间
4.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:
①它的图象关于直线x=对称;
②它的最小正周期为;
③它的图象关于点(,1)对称;
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是()
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
5.函数()的图像可以是()
A. B.
C. D.
6.已知为坐标原点,角的终边经过点且,则()
A. B. C. D.
7.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()
A.4π B.8π C. D.
8.已知集合,,则集合的真子集的个数是()
A.8 B.7 C.4 D.3
9.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.已知函数,则下列判断错误的是()
A.的最小正周期为 B.的值域为
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称
11.已知函数,则的值等于()
A.2018 B.1009 C.1010 D.2020
12.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知平面向量,,且,则向量与的夹角的大小为________.
14.的展开式中,的系数为_______(用数字作答).
15.三棱锥中,点是斜边上一点.给出下列四个命题:
①若平面,则三棱锥的四个面都是直角三角形;
②若,,,平面,则三棱锥的外接球体积为;
③若,,,在平面上的射影是内心,则三棱锥的体积为2;
④若,,,平面,则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
16.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:
①为的重心;
②;
③当时,平面;
④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.
其中,所有正确结论的序号是________________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.
(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;
(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.
18.(12分)已知数列满足对任意都有,其前项和为,且是与的等比中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列满足,,设数列的前项和为,求大于的最小的正整数的值.
19.(12分)等差数列的前项和为,已知,.
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;
(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.
20.(12分)已知函数是自然对数的底数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.
21.(12分)设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;
(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:
.
22.(10分)在一次电视节目的答题游戏中,
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