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2024届山西省太原师范学院附属中学高三第二学期期末质量抽测数学试题
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设函数,则函数的图像可能为()
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
3.已知中,,则()
A.1 B. C. D.
4.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为.给出下列四个结论:
①曲线有四条对称轴;
②曲线上的点到原点的最大距离为;
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为;
④四叶草面积小于.
其中,所有正确结论的序号是()
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④
5.已知三棱锥中,是等边三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
6.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()
A. B. C. D.
7.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()
A. B. C. D.
8.设,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设,,,则,,三数的大小关系是
A. B.
C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是双曲线E上的一点,且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M,且M为的中点,则双曲线E的渐近线方程为()
A. B. C. D.
11.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,下列说法中错误的是()
A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大
C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过400万元
12.下列说法正确的是()
A.“若,则”的否命题是“若,则”
B.在中,“”是“”成立的必要不充分条件
C.“若,则”是真命题
D.存在,使得成立
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,,,,则______.
14.的二项展开式中,含项的系数为__________.
15.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.
16.已知(为虚数单位),则复数________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下列联表:
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);
②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
(下面的临界值表供参考)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式其中)
18.(12分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
19.(12分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
20.(12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)证明:f(x)的极大值不小于1.
21.(12分)已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.
(1)求实数的值及函数的单调区间;
(2)设函数,证明时,.
22.(10分)已知函数.
(1)当时,求
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