2024年等腰三角形知识点.doc

等腰三角形知识点

知识总結归纳：

（－）等腰三角形的性质

1.有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是說，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一种角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线為对称轴的轴对称图形；

2.定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是此后证明两角相等常用的根据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是此后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要根据。

（二）等腰三角形的鉴定

1.有关的定理及其推论

定理：假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一种角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，假如一种锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的二分之一。

2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的鉴定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化為边的相等关系的重要根据，是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作為处理有关等腰三角形问題的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，因此常通过它来证明线段或角的倍分问題，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重叠，添加辅助线時，有時作哪条线都可以，有時需要作顶角的平分线，有時则需要作高或中线，这要视详细状况来定。

例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E為BC延長线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求证：M是BE的中点。

例2.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。

阐明：1.等腰三角形的性质是沟通本題中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解題中发挥着重要的作用，这一点在后边的解題中将深入体現。

2.注意“等边对等角”是对同一种三角形而言的。

3.此題是运用方程思想解几何计算題，而边证边算又是处理此类題目的常用措施。

例3.已知：如图，中，于D。求证：。

阐明：1.作等腰三角形底边高线的目的是运用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截長补短”或“倍長中线”等辅助线的添加措施，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本題还可以有其他的证法，如构造出的等角等。

牛刀小试

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别為∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。

3.如图，中，，BD平分。

求证：。

3.等腰三角形底边長為5cm，一腰上的中线把其周長分為两部分的差為3cm，则腰長為（）

A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不对

4.如图，是等边三角形，，则的度数是________。

5.中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延長线于E，求证：。

6、在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角為，则底角∠B＝.

7、假如一种三角形是轴对称图形且有一种的角，那么这个三角形的另两个角的度数為。

8、假如一种三角形（等腰）一边長為4cm，周長為10cm，那么此外两边長為。

9、如图：BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN//BC，AB＝12，BC＝24，AC＝18，则AMN的周長為。

10、若等腰三角形的一种外角為，则这个底角為。

11、假如等腰三角形的一种内角是，那么它的此外两角的度数是。

12、如图在ABC中，D是AC上一点，AB＝DB＝DC，若∠C＝，则∠ABD的度数是。

13、假如等腰三角形底边上的高等于