专题07 导数综合应用（分层练）（解析版）.docx

专题验收评价

专题07导数综合应用

内容概览

A·常考题不丢分

考点一利用导数研究不等式恒成立问题

考点二利用导数研究函数的零点和方程的根

B·拓展培优拿高分

C·挑战真题争满分

考点一利用导数研究不等式恒成立问题

1．若?x0,x2≥

A．1,e12

C．e12e

【答案】C

【分析】问题可转化为不等式恒成立求参数问题.根据底数分类讨论，当0a1时不成立；当a

【详解】当0a1时，x→0

????

当a1时，ln

fx

即lna

设gx

令gx=0

当x∈0,e时，g

当x∈e,+∞时，g

故当x=e时，gx

所以lna≥1

故选：C．

2．对于函数f(x)=2ae2x-ln

【答案】1

【分析】不等式f(x)=2ae2x-lnx+lna≥0恒成立等价于

【详解】不等式f(x)=2ae2x

由于f(x)=x+lnx

令gx=x

当0x12时，

当x12时，g

易得gx

所以a≥12e，所以

故答案为：12

3．设函数fx=aex-2x2

【答案】4

【分析】根据导数的几何意义转化为fx-10对任意x∈

【详解】limx→x

即limx→x0f

fx=ae

a4x+1e

设hx=4x+1ex

当x∈0,34时，

当x∈34,1时，

则hxmax=h

故答案为：4e

4．已知函数fx=ax

(1)求函数fx

(2)当x∈-π4,+∞

【答案】(1)答案见解析

(2)a

【分析】（1）利用导数分别求出当a0时和当a

（2）记gx=fx-sinx-

【详解】（1）f

当a0时，令fx0，得x-1；令

所以fx在-∞,-1上单调递减，在-

当a0时，令fx0得x-1

∴fx在-∞

∴f

（2）记gx

即gx≥0在

g

必要性：由于g0=0，又gx≥0恒成立，那么说明

又x∈-π4,+∞，则g

充分性：下面证a=1时原式恒成立，即证g

g

当x≥0时，g

∴gx

∴gx在0,+∞

当x∈-π

∴gx在x

∴gx在-π

综上：当a=1时g

∴a的取值范围为a

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥fx恒成立(即a≥fxmax可)或a≤fx恒成立（即a≤fxmin可）；②数形结合(y=fx

5．已知函数fx=e

(1)当m=e24时，讨论函数

(2)若对一切x∈0,+∞，f

【答案】(1)函数fx在1,2上单调递减，在2,+

(2)-

【分析】（1）根据题意，求导即可判断函数fx

（2）根据题意，分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得到结果.

【详解】（1）当m=e24时

记gx=e

令gx=0

当x∈1,lne22时，

所以gx在1,lne

即fx在1,ln

又f1=e-

所以当x∈1,2时，fx0

所以函数fx在1,2上单调递减，在2,+

（2）当x∈0,+∞时，f

①当x=0时，e0-

②当x0时，ex

记hx=e2+

当x∈0,2时，hx0

所以hx在0,2上单调递减，在2,+

故hxmin=h

综上可知，实数m的取值范围为-∞

6．已知函数fx

(1)若曲线y=fx在x=1处的切线方程为2x

(2)若a=3，对任意的x1,x2∈3,+

【答案】(1)a=3，b

(2)112

【分析】（1）求出函数f(x

（2）对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再利用导数求解即得.

【详解】（1）函数fx=alnx

由曲线y=fx在x=1处的切线方程为2x-y

所以a=3，b

（2）当a=3时，函数fx=3

当x∈3,+∞时，fx

不妨设3≤x1x2

不等式fx1-

则fx1+

于是?x1,

则hx在3,+∞上单调递增，于是h

即m≥-3x2+1x在3,+

所以m的取值范围为112

7．已知函数f(x)=

(1)求a的值；

(2)证明：当x∈0,π

【答案】(1)a

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论，利用导数判断单调性，求出fx的最大值，只需最大值等于零，即符合f(x

（2）由（1）知fx最大值为f1=0，当x∈0,π2时，exsinx

【详解】（1）由题知，fx的定义域为0,+

若a≤0，f

若a0，由f

当x∈0,a

当x∈a,+

所以fx在0,a上单调递增，在

故x=a是fx

因为f1=0，所以当且仅当a=1

综上所述，a=1

（2）由（1）知，f(

fx最大值为f

当x∈0,π

故x∈0,π

令y=ex

则y

=e

因为x∈0,π

sinx+π

2exsin

所以y=ex

且x=0时，y

所以当x∈0,π

即当x∈0,π

8．已知函数fx

(1)若a=1时，求曲线y=f

(2)若a=1时，求函数f

(3)若对于任意x∈0,π2，f

【答案】(1)y

(2)两个

(3)1,+

【分析】（1）当a=1，f

（