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第一章函数与极限

函数和极限都是高等数学中最重要、最基本概念，极值方法是最基本方法，一

切内容都将从这二者开始.

§1、函数

一、集合、常量与变量

1、集合：集合是具有某种特定性质事物所组成全体.通常用大写字母A、B、C……等来表示，组

成集合各个事物称为该集合元素.若事物a是集合M一个元素，就记aeM(读a属于M)；若

事物a不是集合M一个元素，就记aeM或awM(读a不属于M)；集合有时也简称为集.

注1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集.

2：集合表示方法:

⑺、若集合为有限集，舸用列举出其全体元素勺方法来表示，如：A={1,2,3,……,

10},B={一只猫，一只狗，一只鸟};

(〃)、对无限集，若知道珈素的规律，也可类彳娟出，如：A={1,2,3,……}为全体自

然数集，B={2,4,6,……}为全体偶数集；

枚举法(访卜列不出全体元素或挪到元素规律的集合，若知其元素有某种性质那么该集

合可表示为：A={x|x所具有的某种性厕，即：有此性质的必函中，且4中的元素必

须有此性质。如：4={小3+5/+7尤+3=0}；8={小为我校的学生);C={(x,y)|点

(x,y)在。中}等。

3：全体自然数集记为N,全体整数集合记为Z,全体有理数集合记为Q,全体实数集合记为R.

以后不特别说明情况下考虑集合均为数集.

4：集合间基本关系：若集合A元素都是集合B元素，即若有XGA,必有xeB,就称A

为B子集，记为Au8,或BnA(读B包含A).

显然：NuZuQuR.

若AuB,同时BuA,就称A、B相等，记为A=B.

5：当集合中元素重复时,重复元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}.

6：不含任何元素集称为空集，记为①，如：{qr+lnO/eR}=中,{%:2=—11=中,空集是

任何集合子集，即①uA.

7：区间：所有大于a、小于b(“/?)实数组成一个集合，称之为开区间，记为(a,b),即

(a,b)={.[aYxYb}.

同理：[a,b]=MaWxW》}为闭区间，[a,b)={XaWxY》}和(a,瓦|={XaYxW。}分别称为

左闭右开、左开右闭区间，统称为半开区间.

以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点.

对无穷区间有：(-℃,={刀卜+00)={x|aYX},(-℃,+℃)={x|-8YXY+8}=R,

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在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示.

8：邻域：设a和b为两个实数，且b0.集合{耳卜一4YS}称为点a地6邻域，记为U(a»,a

为该邻域地中心，b为该邻域地半径，事实上，

U(a、B)={^a-6YXYa+b}=(a-b,a+b).

同理：我们称uG，b=H0Yk—4Yb}为a地去心6邻域，