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2024届陕西西安地区高三延长假期综合考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设直线过点,且与圆:相切于点,那么()
A. B.3 C. D.1
2.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()
A. B. C. D.
3.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
4.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.0
5.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()
A. B. C.或 D.
6.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
7.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()
A. B. C. D.
8.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
9.已知向量,满足||=1,||=2,且与的夹角为120°,则=()
A. B. C. D.
10.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
11.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().
A. B. C. D.
12.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知复数(为虚数单位),则的模为____.
14.若椭圆:的一个焦点坐标为,则的长轴长为_______.
15.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,,则_______.
16.函数(为自然对数的底数,),若函数恰有个零点,则实数的取值范围为__________________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.
18.(12分)如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,点分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(12分)已知,函数的最小值为1.
(1)证明:.
(2)若恒成立,求实数的最大值.
20.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
21.(12分)已知函数
(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;
(2)若函数,则当,时,求证:
①;
②.
22.(10分)已知函数,.
(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;
(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
过点的直线与圆:相切于点,可得.因此,即可得出.
【详解】
由圆:配方为,
,半径.
∵过点的直线与圆:相切于点,
∴;
∴;
故选:B.
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的计算,考查圆的方程,属于基础题.
2、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式,进而求出,再根据复合函数的单调性,即可求出结论.
【详解】
依题意有,①
,②
①②得,又因为,
所以,在上单调递增,
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质,要熟记复合函数单调性判断方法,属于中档题.
3、A
【解析】
依题意有的周期为.而,故应左移.
4、C
【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.
【详解】
由三视图还原原几何体如图,
其中,,为直角三角形.
∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.
故选:C.
【点睛】
本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.
5、D
【解析】
先求函数在上
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