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2024届商丘市重点中学高三年级第一次联考数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()
A.2 B.3 C.4 D.1
2.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:
①若,,,则;②若,,则;
③若,,,则;④若,,,则
其中正确的是()
A.①② B.③④ C.①④ D.②④
3.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()
A.8年 B.9年 C.10年 D.11年
4.设为等差数列的前项和,若,则
A. B.
C. D.
5.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:
①它的图象关于直线x=对称;
②它的最小正周期为;
③它的图象关于点(,1)对称;
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是()
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
6.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
7.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()
A. B. C. D.
8.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与轴的交点坐标为,则该双曲线的标准方程可能为()
A. B. C. D.
9.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()
A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有
C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有
11.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()
A. B. C. D.
12.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.
A.360 B.240 C.150 D.120
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知是抛物线的焦点,过作直线与相交于两点,且在第一象限,若,则直线的斜率是_________.
14.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.
15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中一些数学用语可见,譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知几何体高为,则该几何体外接球的表面积为__________.
16.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;
(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
18.(12分)已知函数
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.
19.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.
20.(12分)如图,在
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