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2024届上海市复兴高级中学高三下学期网上授课阶段考试数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()
A. B. C. D.
2.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()
A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个
5.已知函数,当时,恒成立,则的取值范围为()
A. B. C. D.
6.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()
A. B. C. D.
7.若,,,点C在AB上,且,设,则的值为()
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()
A. B.3 C. D.2
10.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()
A.6种 B.12种 C.24种 D.36种
11.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()
A. B.
C. D.
12.记递增数列的前项和为.若,,且对中的任意两项与(),其和,或其积,或其商仍是该数列中的项,则()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.复数为虚数单位)的虚部为__________.
14.若,则的最小值是______.
15.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.
16.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知等差数列{an}的各项均为正数,Sn为等差数列{an}的前n项和,.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设bn=an?3n,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(12分)已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,,离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若,求直线l的斜率k.
19.(12分)已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)证明:当时,.
20.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)求证:与不垂直;
(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.
21.(12分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)函数,若对于,使得成立,求的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.
【详解】
类产品共两件,类产品共三件,
则第一次检测出类产品的概率为;
不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;
故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;
故选:D.
【点睛】
本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.
2、C
【解析】
设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,
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