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上海南汇中学2024学年第一学期十月阶段练习
高三数学
满分:150分完成时间:120分钟命题人:高三数学备课组
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)
1.集合,则M中元素的个数为________.
2.函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是_________.
3.不等式的解集为___________.
4.已知为锐角,,则______
5.若,则______.
6.不等式的解集为______.
7.在中,内角的对边分别是,若,则___________.
8.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是______.
9.若函数的值域为,则实数a的值为_____.
10.若函数是奇函数,则_______.
11.如下图所示,甲工厂位于一直线河岸的岸边A处,乙工厂与甲工厂在河的同侧,且位于离河岸40km的B处,河岸边D处与A处相距50km(其中),两家工厂要在此岸边建一个供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省?
12.已知函数,若对任意,都存在唯一的,满足,则实数a的取值范围为______________.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中第13、14题每题4分,第15、16题每题五分)
13.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为()
A. B. C. D.
14.已知函数恒过定点,则()
A.1 B.2 C.3 D.4
15.已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后,终边交单位圆于,则的值为()
A B. C. D.
16.如图所示,已知直线与曲线相切于两点,函数,则对函数描述正确的是()
A.有极小值点,没有极大值点 B.有极大值点,没有极小值点
C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤.
17.已知集合,.
(1)若,求;
(2)“”是“”的充分非必要条件,求实数a的取值范围.
18.已知为奇函数,其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式;
(2)若,求的值.
19.流行性感冒简称流感,是流感病毒引起的急性呼吸道感染,也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义,某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为,经过3分钟覆盖面积为,后期其蔓延速度越来越快;菌落的覆盖面积(单位:)与经过时间(单位:)的关系现有三个函数模型:①(,),②(),③()可供选择.(参考数据:,)
(1)选出你认为符合实际的函数模型,说明理由,并求出该模型的解析式;
(2)在理想状态下,至少经过多少分钟培养基中菌落覆盖面积能超过?(结果保留到整数)
20.设实数,函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)当时,求函数的最小值;
(3)对于函数,在定义域内给定区间,如果存在,满足,则称函数是区间上的“平均值函数”,是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数,就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数,求实数的取值范围.
21.设是坐标平面上的一点,曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线,则称是函数的“度点”.
(1)判断点与点是否为函数的1度点,不需要说明理由;
(2)已知,.证明:点是的0度点;
(3)求函数全体2度点构成的集合.
上海南汇中学2024学年第一学期十月阶段练习
高三数学
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)
1.集合,则M中元素的个数为________.
【答案】5
【分析】解不等式求出,得到答案.
【详解】∵,∴.
又,∴,所以M中元素的个数为5.
故答案为:5
2.函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是_________.
【答案】2
【分析】计算自变量的增量与函数值的增量,可得平均变化率.
【详解】函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查平均变化率的概念、计算,属于简单题.
3.不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】将不等式化为,解一元二次不等式求解集.
【详解】由,即,解得或,
所以不等式解集为.
故答案为:
4.已知为锐角,,则______
【答案】
【分析】根据题意可得,再由正弦的二倍角公式即可得到结果.
【详解】因为为锐角,且,则
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