2024高考数学一轮复习第一部分考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试27平面向量的数量.docVIP

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考点测试27平面对量的数量积及应用

高考

概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度

考纲

研读1.理解平面对量数量积的含义及其几何意义

2．了解平面对量的数量积与向量投影的关系

3．驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算

4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系

一、基础小题

1．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，且a，b夹角为eq\f(π,6)，则(a＋b)·(2a－b)＝()

A.eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)

C．－eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)

答案A

解析(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1×eq\r(3)×eq\f(eq\r(3),2)＝eq\f(1,2).故选A.

2．假如等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()

A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)

C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)

答案C

解析由题意得AB＝AC＝2，设D是边BC的中点，在Rt△ABD中，cos∠ABC＝eq\f(1,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－∠ABC)＝2×1×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(1,4)))＝－eq\f(1,2).故选C.

3．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(－3，eq\r(3))，则向量b在向量a方向上的投影为()

A．－eq\r(3) B．eq\r(3)

C．－1 D．1

答案A

解析由投影的定义可知，向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(eq\r(3)×?－3?＋eq\r(3),eq\r(3＋1))＝－eq\r(3).故选A.

4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满意(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形态为()

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

答案A

解析因为(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形，故选A.

5．设a，b是相互垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，则实数λ的值是()

A．2 B．－2

C．1 D．－1

答案B

解析依题意，有|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝0，即λa2＋2b2＋(2λ＋1)a·b＝0，即λ＋2＝0，所以λ＝－2.故选B.

6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()

A.eq\f(7,2) B．eq\f(7,4)

C．－eq\f(7,4) D．7

答案A

解析如图所示，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|eq\o(BC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2[FK)])＝3，eq\o(AE,\s\up6(→