向量-三角恒等变换-解三角形-数列基本公式.docVIP

向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式

向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式

向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式

向量知识点

一、向量有关概念

名称

定义

备注

向量

既有_______又有_______的量。

向量不能比较大小

向量的模

向量的大小叫做向量的_______（或_______）

记为_______

若已知，则,模可以比较大小

零向量

长度为_______的向量，记为_______

零向量与所有向量平行;

与所有向量垂直.

单位向量

长度等于_______的向量

平行向量

方向_______或_______的非零向量.

与任一向量平行或共线；

直线平行:不包括重合情况

共线向量:包括重合情况

若、都是非零向量,存在实数λ，使

共线向量

_______向量又叫共线向量。

相等向量

长度_______且方向_______的向量

特点：1、长度相等；

2、平行且方向一致

相反向量

长度_______且方向_______的向量

的相反向量是本身

特点：1、长度相等;

2、平行且方向相反

_______

二、向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

备注

加法

求两个向量和的运算

ABC

A

B

C

A

B

C

特点：首尾相连，始终如一。

在中,

ABCD

A

B

C

D

A

B

C

A

B

C

特点：共同始点为相邻边的和是平行四边形中有共同始点的对角线。

减法

求与的相反向量的和的运算叫做与的差

AB

A

B

C

特点：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

数乘

求实数与向量的积的运算

1、当=_______

2、当时,与的方向_______；当时，与的方向_______；当时,=_____；当时，则_____

三、向量的表示方法

ABO1、字母表示法:如、；2、几何表示法：用一条______________表示向量；

A

B

O

3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的始点为坐标原点，

终点坐标为A（X，Y)，则向量坐标记为（X，Y）

四、两个向量的夹角

1、定义：已知两个_______向量与，作,，则叫做向量与的夹角。

2、范围：，与同向时，夹角_______；与反向时,夹角_______

3、向量垂直：如果向量与的夹角是_______时，则与垂直，记为_______

五、平面向量基本定理及坐标表示

1、定理:如果、是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量，_______一对实数、，使=___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

2、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。

3、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数对X，Y，使，把有序实数对_______叫做向量的坐标，记作=_______，其中_____叫做在X轴上的坐标,其中_____叫做在Y轴上的坐标。即=(X，Y）

六、平面向量的坐标运算：

1、向量坐标求法：已知，，则，即一个向量的坐标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。

2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设,

加法：+=减法:—=数乘：

3、平面向量共线与垂直的表示：设,，其中，则

与共线（或）

七、平面向量数量积

1、已知两个非零向量与，它们的夹角为,把数量_______叫做与的数量积(或内积）,记作。,即。=_______,并规定零向量与任一向量的数量积为_______

注：两个非零向量和的数量积是一个数量，不是向量,其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。

当；当当；

数量积是内积，用表示，不能用或表示

2、一向量在另一向量方向上投影

定义:_______（_______）叫做在的方向上（在的方向上）的投影。如图，，过作垂直于直线OA,垂足为，则

O

O

B

A

O

B

A

A

0

B

图1

图2

图3

叫做向量在的方向上

当为锐角时，如图1，它是_______；当为钝角时，如图2,它是_______;

当为直角时,如图3，它是_______;当=时，它是_______；当=时，它是_______；

的几何意义：数量积等于的长度与______________的乘积

3、平面向量数量积的重要性质：

设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角,则.=。=_______

当与同向时，=_______；当与反向时，=_______；

特别是。==_______