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向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式
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向量知识点
一、向量有关概念
名称
定义
备注
向量
既有_______又有_______的量。
向量不能比较大小
向量的模
向量的大小叫做向量的_______(或_______)
记为_______
若已知,则,模可以比较大小
零向量
长度为_______的向量,记为_______
零向量与所有向量平行;
与所有向量垂直.
单位向量
长度等于_______的向量
平行向量
方向_______或_______的非零向量.
与任一向量平行或共线;
直线平行:不包括重合情况
共线向量:包括重合情况
若、都是非零向量,存在实数λ,使
共线向量
_______向量又叫共线向量。
相等向量
长度_______且方向_______的向量
特点:1、长度相等;
2、平行且方向一致
相反向量
长度_______且方向_______的向量
的相反向量是本身
特点:1、长度相等;
2、平行且方向相反
_______
二、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
备注
加法
求两个向量和的运算
ABC
A
B
C
A
B
C
特点:首尾相连,始终如一。
在中,
ABCD
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
特点:共同始点为相邻边的和是平行四边形中有共同始点的对角线。
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
AB
A
B
C
特点:差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
数乘
求实数与向量的积的运算
1、当=_______
2、当时,与的方向_______;当时,与的方向_______;当时,=_____;当时,则_____
三、向量的表示方法
ABO1、字母表示法:如、;2、几何表示法:用一条______________表示向量;
A
B
O
3、坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的始点为坐标原点,
终点坐标为A(X,Y),则向量坐标记为(X,Y)
四、两个向量的夹角
1、定义:已知两个_______向量与,作,,则叫做向量与的夹角。
2、范围:,与同向时,夹角_______;与反向时,夹角_______
3、向量垂直:如果向量与的夹角是_______时,则与垂直,记为_______
五、平面向量基本定理及坐标表示
1、定理:如果、是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的任意向量,_______一对实数、,使=___________,其中,___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
2、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个_______的向量,叫做把向量正交分解。
3、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量、作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数对X,Y,使,把有序实数对_______叫做向量的坐标,记作=_______,其中_____叫做在X轴上的坐标,其中_____叫做在Y轴上的坐标。即=(X,Y)
六、平面向量的坐标运算:
1、向量坐标求法:已知,,则,即一个向量的坐标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。
2、向量坐标加法、减法、数乘运算:设,
加法:+=减法:—=数乘:
3、平面向量共线与垂直的表示:设,,其中,则
与共线(或)
七、平面向量数量积
1、已知两个非零向量与,它们的夹角为,把数量_______叫做与的数量积(或内积),记作。,即。=_______,并规定零向量与任一向量的数量积为_______
注:两个非零向量和的数量积是一个数量,不是向量,其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦决定。
当;当当;
数量积是内积,用表示,不能用或表示
2、一向量在另一向量方向上投影
定义:_______(_______)叫做在的方向上(在的方向上)的投影。如图,,过作垂直于直线OA,垂足为,则
O
O
B
A
O
B
A
A
0
B
图1
图2
图3
叫做向量在的方向上
当为锐角时,如图1,它是_______;当为钝角时,如图2,它是_______;
当为直角时,如图3,它是_______;当=时,它是_______;当=时,它是_______;
的几何意义:数量积等于的长度与______________的乘积
3、平面向量数量积的重要性质:
设、都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则.=。=_______
当与同向时,=_______;当与反向时,=_______;
特别是。==_______
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