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2024届上海市第一中学高三5月调研考试数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()
A. B. C. D.
2.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().
A. B. C. D.
3.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()
A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}
4.对于正在培育的一颗种子,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0
A.2 B.3 C.3.5 D.4
5.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
6.执行下面的程序框图,则输出的值为()
A. B. C. D.
7.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()
A. B.
C. D.
8.在中,,则=()
A. B.
C. D.
9.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()
A. B. C. D.
10.已知,则的值构成的集合是()
A. B. C. D.
11.的展开式中,含项的系数为()
A. B. C. D.
12.以,为直径的圆的方程是
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.
14.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.
15.已知,记,则的展开式中各项系数和为__________.
16.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,已知四棱锥的底面是等腰梯形,,,,,为等边三角形,且点P在底面上的射影为的中点G,点E在线段上,且.
(1)求证:平面.
(2)求二面角的余弦值.
18.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.
19.(12分)我们称n()元有序实数组(,,…,)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量,其中,,2,…,n.记范数为奇数的n维向量的个数为,这个向量的范数之和为.
(1)求和的值;
(2)当n为偶数时,求,(用n表示).
20.(12分)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明:.
21.(12分)已知,,函数的最小值为.
(1)求证:;
(2)若恒成立,求实数的最大值.
22.(10分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求二面角的余弦值大小.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.
【详解】
由题意,,
第1次循环,,满足判断条件;
第2次循环,,满足判断条件;
第3次循环,,满足判断条件;
可得的值满足以3项为周期的计算规律,
所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.
2、C
【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,
所以,又,
故,,,
所以,即,
故离心率为.
故选:C.
【点睛】
本题
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