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2024届上海市嘉定区市级名校高三4月调研测试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
2.已知函数满足,设,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()
A. B.
C. D.
4.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()
A.7 B.14 C.28 D.84
5.复数为纯虚数,则()
A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i
6.已知函数为奇函数,则()
A. B.1 C.2 D.3
7.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()
A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立
C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立
8.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()
A. B. C. D.
9.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()
A. B. C. D.
10.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()
A. B.
C. D.
11.设则以线段为直径的圆的方程是()
A. B.
C. D.
12.已知,则的值构成的集合是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设函数满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.
14.已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与,则展开式所有项系数之和为______.
15.为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间的一等品,在区间和的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为__________.
16.若满足,则目标函数的最大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,椭圆的长轴长为,点、、为椭圆上的三个点,为椭圆的右端点,过中心,且,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点(异于、),且满足,试讨论直线与直线斜率之间的关系,并求证直线的斜率为定值.
18.(12分)已知函数.
(1)当时,求的单调区间.
(2)设直线是曲线的切线,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率时切线的方程.
(3)已知分别在,处取得极值,求证:.
19.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求的周长的最小值.
20.(12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
22.(10分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.
(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;
(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;
(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.
【详解】
由题意得,,
,.
故选:D.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.
2、B
【解析】
结合函数的对应性,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
解:若,则,即成立,
若,则由,得,
则“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数的对应性是解决本题的关键,属于基础题.
3、A
【解析】
根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已
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