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上海市建平中学2024学年第一学期
第一次阶段学习评估(高二数学)
说明:(1)本场考试时间为120分钟,总分150分;
(2)请认真答卷,并用规范汉字书写.
一、填空题:(本大题共12题,满分54分.其中第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.圆在点处的切线方程为______.
2.抛物线的焦点坐标是______.
3.已知函数的定义域是,则的取值范围为______.
4.已知,是椭圆的两个焦点,过的直线交此椭圆于,两点.若,则____________;
5.双曲线的焦距是10,则实数的值为______.
6.设集合,双曲线,则______.
7.已知双曲线的左顶点为,右焦点为,点,双曲线的渐近线上存在一点,使得顺次连接构成平行四边形,则双曲线的离心率为______.
8.设P是椭圆第一象限部分上一点,过P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M、N,则矩形OMPN的面积的最大值为______.
9.若直线ax+y+b﹣1=0(a>0,b>0)过抛物线y2=4x的焦点F,则的最小值是_____.
10.已知抛物线对称轴为轴.若抛物线上的动点到直线的最短距离为1,则该抛物线的标准方程为______.
11.坐标平面上一点到点,及到直线的距离都相等.如果这样的点有且只有两个,那么实数的取值范围是______.
12.已知函数,其中,的最大值为,则的最小值为______.
二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13.方程的两个根可分别作为()
A.椭圆和双曲线的离心率 B.两双曲线的离心率
C.两椭圆的离心率 D.以上皆错
14.“”是“圆与坐标轴有四个交点”的()
A充分非必要条件; B.必要非充分条件;
C.充要条件; D.非充分非必要条件.
15.已知方程b2x2?a2k
A. B.
C.kab
16.设曲线E的方程为1,动点A(m,n),B(﹣m,n),C(﹣m,﹣n),D(m,﹣n)在E上,对于结论:①四边形ABCD的面积的最小值为48;②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是()
A.①错,②对 B.①对,②错 C.①②都错 D.①②都对
三、解答题(本大题共5题,满分78分)
17.已知是方程的两个实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若,求最小值.
18.已知:点不在圆的内部,:“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,:“曲线表示双曲线”.
(1)若和都成立,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.
19.如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧连线构成边长为20的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量,其中仪器P的移动速度为1.5,仪器的移动速度为1.若仪器Р与仪器Q的对视光线被花柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.
(1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器Р在点A处,仪器Q在BC上距离C点4处,试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由;
(2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时仪器Q从点C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器Р的“盲区”中的时长为多少?
20.如图所示,已知动直线交圆于坐标原点O和点A,交直线于点B,若动点M满足,动点M的轨迹C的方程为.
(1)试用k表示点A、点B坐标;
(2)求动点M的轨迹方程;
(3)以下给出曲线C的五个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究,并说明理由.(若你研究的方面多于三个,我们将只对试卷解答中的前三项予以评分)
①对称性;
②顶点坐标(定义:曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点);
③图形范围;
④渐近线;
⑤对方程,当时,函数的单调性.
21.已知直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数,使椭圆上存在不同两点、关于直线对称?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点,是四边形的面积,求的最小值.
上海市建平中学2024学年第一学期
第一次阶段学习评估(高二数学)
一、填空题:(本大题共12题,满分54分.其中第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.圆在点处的切线方程为______.
【答案】
【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.
【详解】由题意可知:圆的圆心为O0,0,
因为点在圆上,故切线必垂直于切点与圆心连线,
而切点与圆心连线的斜率为,故切线的斜率为,
故切线方程为:,即.
故答案为:
2.抛物线的焦点坐标是______.
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