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高中数学第一章集合与常用逻辑用语

目录01.CATALOG1.1集合的概念

11.1集合的概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（集圆）等，下面我们先从集合的含义开始学习。

集合的含义①一般的我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。②集合有三个特性：确定性，互异性，无序性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，1~10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不重复出现的。注，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。（3）无序性：集合中的元素没有特定的顺序，即集合中的元素是无序排列的，例如集合{a，b，c}和集合{c，b，a}是同一个集合。注，列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。如，“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程X2-3X+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}

①我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。②如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A例如，若用A表示前面例子中“1∽10之间的所有偶数”组成的集合，则有4∈A，3?A，等等。

数学中一些常用的数集及其记法①全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；②全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；③全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；④全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；⑤全体实数组成的集合称为实数集，记作R

看下面的例子：（1）1~10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；（5）方程X2-3X+2=0的所有实数根；（6）地球上的四大洋注，同学们可以判断以上例子是否符合集合的定义，若是，请用列举法写出相应集合。

例1，用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.

（2）方程X2=X的所有实数根组成的集合解：设方程X2=X的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}.

思考（1）你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？（2）你能用列举法表示不等式X-73的解集吗？

描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（X）的元素X所组成的集合表示为{X∈A｜P（X）}.注，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{X∈A：P（X）}或{X∈A；P（X）}.

例如，不等式X-73的解是X10，因为满足X10的实数有无数个，所以X-73的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中元素的共同特征，即：X是实数，且X10，把解集表示为{X∈R｜X10}.

又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1，它是一个奇数；反之，如果X是一个奇数，那么X除以2的余数为1，它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式。所以，X=2k+1（k∈Z）是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表为{X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}.

再如，实数集R中，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p，q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}.其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同特征。

例2，试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程X2-2=0的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

我们约定，如果从上下文的关系看，X∈R，X∈Z是明确的，那么X∈R，X∈Z可以省略，只写其元素X.例如，集合D={X∈R｜X10}也可表示为D={X｜X10}；集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}