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3.1.2椭圆的简单几何性质
第2课时直线与椭圆的位置关系
课后·训练提升
基础巩固
1.若点P(a,1)在椭圆x2
A.-
B.2
C.4
D.-∞,-
答案:A
解析:由题意知a22+131,即a24
2.直线y=kx-k+1与椭圆x2
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
答案:A
解析:由题意得,直线y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆x2
3.已知过原点的直线l与曲线C:x23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于
A.33 B.±3
C.3 D.±1
答案:D
解析:显然直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l与曲线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立x23+y2=1,y=kx消去y得(1+3k2)x2-3=0,则Δ=-4(1+3k2)·(-3)=12(1+3k2)0,x1+x2=0,x
4.直线y=x+1被椭圆x2
A.23,
C.-23
答案:C
解析:设A(x1,y1),B((x0,y0),
由y=x+1,x2
∴x0=x1+x22=1
5.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆的方程是()
A.x220+y
C.x25+y
答案:C
解析:设椭圆方程为x2a2+y2a2-1=1(a1),由x2a2+y2a2-1=1,x-y+3=0,得(2a2-1)x
6.(多选题)已知F1,F2分别为椭圆C:x22+y
A.椭圆C的离心率为2
B.椭圆C的长轴长为2
C.若点M是线段PQ的中点,则MO的斜率为-1
D.△OPQ的面积的最大值为2
答案:ACD
解析:因为a2=2,b2=1,所以c2=1,所以e=ca
因为a=2,所以2a=22,故B错误;
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为l与椭圆C交于P,Q两点,所以联立x122+y12=1,x222+y22=1,得(x1
所以kOM=-12
设直线l:y=x+m(m≠0),由y=x+m,x22+y2=1,得32-2=0,因为直线与椭圆相交,所以Δ=16m2-12(2m2-2)0,解得0m23,根据根与系数的关系得x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,|QP|=1+12|x1-x2|=2(x1+
7.若椭圆x236+
答案:-1
解析:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
因为(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程得x1236+y129=1,x2236+y22
8.已知椭圆4,当直线与椭圆有公共点时,实数m的取值范围是.?
答案:-
解析:由4x2+y2=1,y=x+m,得52
9.椭圆x216+y2
答案:45(-2,3)
解析:因为直线x-2y-12=0与椭圆x216+
由y=12x+t,x
由Δ=0,得t=4或t=-4,
当t=4时,直线l与直线x-2y-12=0的距离最大,此时直线l的方程为y=12x+4,即x-2y+8=0,直线l与直线x-2y-12=0的距离d=45,即所求距离的最大值为45
又当t=4时,方程(*)为x2+4x+4=0,得x=-2,所以直线l与椭圆x2
10.已知直线x+y-1=0与椭圆ax2+by2=1相交于A,B两点,C是线段AB的中点,O为坐标原点,若|AB|=22,直线OC的斜率为22
解:易知a0,b0,a≠b,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为kAB,直线OC的斜率为kOC.
由题意得ax12+by1
ax22+by2
②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.
∵y2-y1x2-x1
∴b=2a.
又|AB|=1+kAB2|x2-x1|=2|x2-x1
∴|x2-x1|=2.
由ax2+b
∴x1+x2=2ba+b,x1x2=b
∴|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=2ba+b2-4·b-1a+b=4,将b=2
∴所求椭圆的方程为x23+
能力提升
1.若点O和点F分别为椭圆x24+
A.2 B.3 C.6 D.8
答案:C
解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),
则OP·FP=(x0,y0)·(x0+1,y0)=x02+x
∵P为椭圆上一点,
∴x0
∴OP·FP=x02+x0+31-x0
∵-2≤x0≤2,∴OP·FP的最大值在x+ny=4和圆,n)的直线与椭圆
A.0或1 B.2 C.1 D.0
答案:B
解析:因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n22,所以m2+n2
3.经过椭圆x22+y2=
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