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3.2.2双曲线的简单几何性质
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列双曲线中,以直线2x±3y=0为渐近线的是()
A.x29-y
C.x24-y
答案:ABD
解析:C项中的双曲线x24-
2.一个焦点为(0,6)且与双曲线x22-y
A.y212-x
C.y224-x
答案:A
解析:由题意设双曲线方程为x22-y2=t(t0),则-x2
3.已知双曲线的值等于()
A.-4 B.-1
C.-16 D.-1
答案:D
解析:双曲线方程化为x2-y2-1m=1,因此a2=1,b2=-1m,实轴长2a=2,虚轴长2b=2-
4.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是双曲线C上一点,且F1P⊥F
A.1 B.2 C.4 D.8
答案:A
解析:∵ca=5,∴
根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a,S△PF1F2=12
∵F1P⊥F2P,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,
∴a2-5a2+4=0,解得a=1(负值舍去).故选A.
5.已知双曲线C:x2a2
A.3 B.3 C.2 D.6
答案:A
解析:不妨设渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点(-23,0)到渐近线的距离d=|-
又因为e=ca=2,所以a2+b2a2=4,则b2=3a2
6.已知椭圆x2a2
A.y=±33x B.y=±3
C.y=±22x D.y=±2
答案:A
解析:依题意,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12(a0,b0)即x
则b2a2=3
7.若直线l经过点(2,0),且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).
联立y=k(x-2),x2-y
当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点.
当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,k无解,所以符合要求的直线只有2条.
8.已知直线y=x+1与双曲线x2
A.2 B.3
C.2 D.5
答案:B
解析:由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x12a
两式相减得x12-
设直线AB、直线OM的斜率分别为kAB,kOM,
则kAB·kOM=b2a2,而kAB
所以b2a2
9.设双曲线C:x2a2-y
答案:3
解析:由双曲线方程x2
因为其一条渐近线为y=2x,所以ba=2
10.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1作倾斜角为π6
答案:3
解析:由题意知,双曲线的左焦点为F1(-2,0),所以直线l的方程为y=33
由x2-y
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,故|AB|=
11.已知双曲线C:x2a2-y
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆的值.
解:(1)由题意得a2c
所以b2=c2-a2=2,
所以双曲线C的方程为x2-y2
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),((x0,y0).
由x-y+m=0,
则Δ=8m2+80,
所以,y0=(=±1.
能力提升
1.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线x2a2-y
A.65 B.6 C.35 D.3
答案:C
解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为y=±bax,由于一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得ba=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF
2.设F是双曲线C:x2a2
A.22x±y=0 B.x±22y=0
C.x±32y=0 D.32x±y=0
答案:B
解析:双曲线C的右焦点F(c,0)到渐近线y=bax即bx-ay=0的距离d=|bc|a2+b2=bcc=b(同理可得,右焦点F到渐近线y=-bax的距离也为b),因为点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,所以b2c=16,即c=3b,则c2=a2+b2=9b
3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e=23
A.x236-y212
C.x29-y
答案:C
解析:依题意e2=c2a2=1+b2a2=2332,所以b2a2
4.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2
A.4 B.8 C.16 D.32
答案:B
解析:∵双曲线C:x2
∴双曲线C的渐近线方程是y=±ba
∵直线x=
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