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圆锥曲线中的证明与存在性问题
???例1
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圆锥曲线证明问题的类型及求解策略1.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等
几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、
某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关
系(相等或不等).2.解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲
线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要
的数值计算等进行证明.方法总结
?跟踪训练????
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?例2?
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(2)过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两
点,交y轴于点E,P为弦AB的中点,过点E作直线OP的垂线交OP于
点Q,问是否存在一定点H,使得QH的长度为定值?若存在,则求出
点H;若不存在,请说明理由.
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圆锥曲线中存在性问题的求解方法1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.
其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用
待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数
解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则元素(点、直线、曲
线或参数)不存在.2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.方法总结
?跟踪训练??
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点,F为双曲线C的右焦
点,在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM=2∠QMF?若存
在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0,y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点.当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,所以∠QMF=45°,于是MF=QF=3,所以t=-1,即M(-1,0).
??解得t=-1,即M(-1,0).综上,满足条件的点M存在,其坐标为(-1,0).
课时作业巩固提升
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