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第八章8.6.3平面与平面垂直
A级必备知识基础练
1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()
A.PD?平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
2.下列说法正确的是()
A.若一个平面内有无数条直线与另一个平面垂直,则这两个平面互相垂直
B.两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面互相平行
D.垂直于同一个平面的两个平面互相垂直
3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有()
A.1对
B.2对
C.3对
D.5对
4.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列说法正确的是()
A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
B.若m?α,n?β,m⊥n,则n⊥α
C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
5.(多选题)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()
A.m⊥n,m⊥α,n⊥β
B.m⊥n,α∩β=m,n?α
C.m∥n,n⊥β,m?α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中正确的是.?
①平面PB1D⊥平面ACD1;
②A1P∥平面ACD1;
③三棱锥D1-APC的体积不变.
7.求正四面体的侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值.
B级关键能力提升练
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()
A.平行
B.EF?平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
9.(多选题)如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系成立的有()
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
11.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,求PB的值.
12.三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求点B到平面MOC的距离.
13.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
14.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥PD;
(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;
(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.
答案:
1.B解析∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.
2.A解析对于A,一个平面内有无数条直线与另一个平面垂直,则这个平面经过了另一个平面的一条垂线,从而得这两个平面垂直,A正确;对于B,圆锥的任意两条母线所在直线与底面所在平面所成的角相等,而任意两条母线相交,B不正确;对于C,一条直线l与两个相交平面α,β的交线平行,且l?α,l?β,满足l∥α,l∥β,而α,β不平行,C不正确;对于D,长方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面矩形ABCD与矩形A1B1C1D1所在平面都垂直于侧面ABB1A1所在平面,而平面ABCD∥平面A1B1C1D1,D不正确.故选A.
3.D解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,又DA∥BC,∴BC⊥平面PAB,同理AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
4.D解析当m?α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;
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