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第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示
A级必备知识基础练
1.(多选题)设向量a=(1,0),b=12,12,
A.|a|=|b| B.a·b=2
C.a∥b D.a-b与b垂直
2.若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为()
A.π6 B.π
C.2π3 D.
3.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于(
A.4 B.-4
C.2 D.-2
4.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
5.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.?
6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.?
7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
B级关键能力提升练
9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()
A.3 B.5
C.7 D.8
10.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是()
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-3,3] D.[0,
11.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,求PC
12.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D
(1)求AD·CB
(2)判断AE·CB的值是否为一个常数,
答案:
1.ABC解析A项,|a|=1,|b|=22,故|a|≠|b|;B项,a·b=1×12+0×12=12;C项,1×12≠0×12,∴a,b不平行;D项,a-b=12,-1
2.C解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t(t0),则|a|=3|b|=3t.若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=-12.又由0≤θ≤π,则θ=2π3.
3.A解析由向量加、减法的运算法则,可得AD=BC=AC-AB=(1,2),BD
4.A解析建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),
因此AE·AF=23x+2,设f(x)=23x+2(0≤x≤23),则f(x)
则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF
5.5解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=22
6.2解析a·b=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y
∵a与b的夹角为45°,
∴cos45°=a·
解得y=2或y=-12(舍去
7.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.
综上,|a-b|=2或25.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b0,即2x+3-x20,解得-1x3.
又当x=0时a∥b,a与b夹角为0°,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
8.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴AB=(1,1),AD=(-3,3).
又AB·
∴AB⊥AD,∴AB
(2)解∵AB⊥AD,且四边形ABCD
∴AB=
设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).
又AB=(1,1),
∴x+1=1,y
∴点C的坐标为(0,5).
∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),
∴|AC|=25,|BD|=25,
设AC与BD
则cosθ=AC·
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45
9.B解析如图,以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x
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