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第六章6.2.3向量的数乘运算
A级必备知识基础练
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是()
A.a与λa的方向相同 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|
2.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
3.如图,在△ABC中,D是BC边上靠近点B的三等分点,则AD=()
A.2
B.1
C.2
D.1
4.已知在△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的(
A.垂心 B.内心
C.外心 D.重心
5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.?
6.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.?
7.已知向量a,b,且5x+2y=a,3=e1,AN=e2,试用e1,e2表示DB,
B级关键能力提升练
9.已知D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,则AD=(
A.-13AB
C.43AB
10.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,
A.2 B.32
C.3 D.6
11.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB-2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,求实数λ
12.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.
(1)用向量a与b表示向量OC;
(2)若OE=35OA,判断C,D,E
答案:
1.C解析因为λ≠0,所以λ20,于是向量a与λ2a的方向相同.
2.A解析∵向量BD=BC+
∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.
3.C解析AD=AB+BD=
4.D解析设D为BC中点,则AB+AC=2
∴AP=2λAD,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.
5.-13由向量共线可得
即a+λb=kb-3ka,
∴(1+3k)a=(k-λ)b.
∵a,b不共线,
∴1+3k=0,k-λ=0
6.等腰梯形解析由已知得AB=-57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD
又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.
7.解将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,
∴x=111a+2
∴y=3x-b=3111a+211b
8.解DB=2MN=2(AN-AM)=2e2-2e
AO=AM+MO=AM+12(AN
9.A解析因为D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,所以AD=AC+
10.C解析(方法一)AB+AC=
又PA+PB+PC=0,即
∴AB+AC=-3PA=λAP=-λ
∴λ=3.
(方法二)PA+PB+PC=0,
由重心的几何性质,可知AP=
∴AB+AC=2AD=3
∴λ=3.
11.解记2AM=
∵AN-AB+2AN-2
∴BN=2NC,S△ABC=32S△ABN
又S△ABM=12S△ABN
∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.
12.解(1)∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,
∴AC=-a.∴OC=
(2)C,D,E不共线.理由如下,
假设存在实数λ,使CE=λCD.
∵CE=CO+OE=a+b+
CD=CB+BD=CB+
∴a+25b=λ5
∴53λ=1
∴不存在实数λ,满足CE=λCD.
∴C,D,E三点不共线.
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