2024高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第4讲函数性质的综合问题习题课学案文.docVIP

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第4讲函数性质的综合问题(习题课)

函数的奇偶性与单调性(师生共研)

已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对随意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0.设a＝lneq\f(1,3)，b＝(ln3)2，c＝lneq\r(3)，则()

A．f(a)f(b)f(c) B．f(b)f(a)f(c)

C．f(c)f(a)f(b) D．f(c)f(b)f(a)

【解析】由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

又因为|a|＝ln31，b＝(ln3)2|a|，0c＝eq\f(ln3,2)|a|，

所以f(c)f(|a|)f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)．故选C．

【答案】C

eq\a\vs4\al()

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时肯定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再依据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要留意函数定义域对参数的影响．

已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)0，则实数a的取值范围是()

A．(2eq\r(2)，3) B．(3，eq\r(10))

C．(2eq\r(2)，4) D．(－2，3)

解析：选A．由f(a－3)＋f(9－a2)0得f(a－3)－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)f(a2－9)．因为f(x)是定义域为(－1，1)的减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1a－31，,－1a2－91，,a－3a2－9，))解得2eq\r(2)a3.

函数的奇偶性与周期性(典例迁移)

(一题多解)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________．

【解析】方法一：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x≤1时，f(x)＝x3，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).

方法二：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，当1x≤3时，－1x－2≤1，f(x)＝－(x－2)3，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))eq\s\up12(3)＝－eq\f(1,8).

【答案】－eq\f(1,8)

【迁移探究】(变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数y＝f(x＋1)为奇函数，当0≤x1时，f(x)＝x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________．

解析：因为f(x)是R上的偶函数，y＝f(x＋1)为奇函数，

所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝－f(x－1)，

所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x1时，f(x)＝x2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))