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各位同仁,大家上午好,今天我谈论的专题是,图形的变换平移、旋转、对称
平移、旋转、对称是中考的重点内容之一,近年来对本专题内容的考察有加强的趋势,在中考试卷中既有
选择题,填空题形式的低、中档题,也有依托三角形,四边形、函数、方程等内容编拟的综合性题目,其
中综合性题目多为中等难度的试题,有时也会出现一些难题,还有一些题目要求在网格中画出三角形、四
边形等图形的轴对称、平移或旋转后的图形。
所以备考时,要深入理解轴对称、平移与旋转的概念和性质,要分析图形变换时的不变量,并加强与其他
数学知识的联系,探讨解决轴对称、平移与旋转类问题的方法和规律,提高综合能力和探究能力。
咱刚刚进行完一模考试现在我就由一模的试卷中的题目引入咱今天的专题
一模中的20,24题都是此类问题,
一图形的旋转
咱先看24题,24题牵扯到的是图形的旋转,首先是第一问,
此问只要掌握这两个三角形全等,谁和谁是对应边,以及B点的象限就可。
第二问学生做出来的挺少,我和同事们一起探讨出这个题总共有5—6种的解法,这里拿出其中的四种与
大家一起分享。
解法一:用的是我们最常见的辅助线,求坐标就做X轴,Y轴的垂线或者平行线,
解法二:运用到了此题中旋转的角度,链接AB,三角形OAB为等腰直角三角形∠B=∠BOC=45度,则
AB平行于OC,两直线平行K相同,由AB的坐标能求出直线AB的K值,则OC这个正比例函数的K值
就确定了,Y=1/7X,设C(X,1/7X)则OC的长度就可用X表示出了,进而解方程即可,要注意的一点是C
在第三象限,X为负值
解法三:这是我的一名学生想出来的方法,他是把OA旋转了180度到OA’,则A’的坐标求出,由角度直
角的关系知道∠1=∠BOC=45度,则OC是A’B的垂直平分线,则A’B的中点D在直线OC上,根据A’,B
的坐标能求出D,进而求出正比例函数OC的解析式,求出解析式之后的做法就与解法二相同了。
解法四:前面几种解法一直运用的是线段的旋转,这种解法把图形的旋转运用到了,构造了三角形OAD
的旋转135度到三角形OCD’。三角形ED’O和三角形EFC均为等腰直角三角形,OD’=ED’=4,就能求出
OE,因为CD’=3则CE=1进而能求出EF=FC,综合就能得出CF,OF的长,切记还要考虑C的象限
2
这是一模考试的20题,是考察轴对称和旋转,这题的在于第三问怎样找变换,对称对应点的连线相互平
行,旋转对应点所连线段的垂直平分线交于一点,即旋转中心,确定变换的方式旋转,从图可以看出
是逆时针旋转,确定方向,由前两个问号确定旋转角为70度
旋转类问题常见于中考试题中,经常一综合的形式出现,解答旋转类问题,要分析图形变换中的数量关系,
弄清旋转的角度,找到旋转的不变量。图形的旋转,只是改变了图形的位置,图形的形状和大小并没有改
变
二图形的对称
3
图形的对称分为中心对称和轴对称,而中心对称在中考中出现的频率不是挺多,经常会看到会以这种类型
出现。
先着重说一下轴对称
轴对称在实际生活中应用非常广泛,在生活中不仅体现了对称美,同时它可以用于解决实际生活中
的最值问题。下面我们从简单的例子逐步进行拓展研究:
问题是要在直线上找一点C,使AC与CB的和最小。我们知道,要使AC与CB的和最小,根据“两
点之间,线段最短。”只须把AC与CB转移到一条线段上,这就需要找出点B的对称点B',本问题也就是
要使AC与CB'的和最小。于是连结AB',则线段AB'最短。因此,线段AB'与直线l的交点C的位置即
为所求。以上问题可用“三角形的三边关系定理得证”。图2就可作为基本图形
我们知道,在数学问题中的对称知识应用很多。只要图形具有轴对称的性质,都可以运用以上基本
图形来求解。例如:等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形、平面直角坐标系、圆等等。
4
这上面几种变式都是做一次对称
分析:根据
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