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第2周单元检测
(必修第一册30%+(6.1—6.2.3)20%+(6.2.4—6.3.3)50%)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
A.?x∈R,x2-1≥0 B.?x∈R,x2-1≥0
C.?x∈R,x2-10 D.?x∈R,x2-10
2.已知角α=2022°,则角α的终边落在()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.函数f(x)=5x+20x(x0)的最小值为(
A.10 B.15
C.20 D.25
4.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=()
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.若a,b为非零向量,则“a|a|=b|b|”
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图,正方形ABCD中,点E是边DC的中点,点F是边BC的靠近点B的三等分点,那么EF=()
A.12AB
C.12AB
7.已知△ABC是边长为2的等边三角形,点D为BC边的中点,则AB·BD=(
A.-2 B.-1
C.1 D.2
8.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a-b+2c|=()
A.5 B.6
C.5 D.6
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若10a=4,10b=25,则()
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab8lg22 D.b-alg6
10.以下选项中,能使a∥b成立的条件有()
A.|a|=|b|
B.|a|=0或|b|=0
C.a=-2b
D.a与b都是单位向量
A.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
B.若a·b=a·c,则b=c
C.向量b在向量a上的投影向量为(
D.向量a,b共线的充分必要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb
12.已知a,b,c是任意的非零向量,则下列结论正确的是()
A.|a+b|≤|a|+|b|
B.a·b≤|a||b|
C.若|a|=|b|,则a=b
D.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cosπ6+α=12,则sin
14.已知|a|=6,e为单位向量,a与e的夹角为2π3,则向量a在向量e上的投影向量为.
15.设点M在直线BC上,点A在直线BC外,且|AB|=4,|AC|=3,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|
16.已知点O是△ABC外接圆的圆心,若|AB|=5,|AC|=6,则AO·CB=
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知|a|=3,|b|=2,(a-3b)·(2a+b)=-9.
(1)求a·b的值;
(2)求|a-3b|的值.
18.(12分)[广西北海高二期末]已知函数f(x)=2x+bx+a,x∈[-1,1],满足条件f(0)=3
(1)求f(x)的解析式;
(2)用单调性的定义证明f(x)在x∈[-1,1]上单调递增,并求f(x)在x∈[-1,1]上的最值.
19.(12分)在△ABC中,AB=AC=3,BE=2EA,BD=2DC,且∠ACD=π6,设AB
(1)用a,b表示AD,
(2)求AD·CE
20.(12分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°.
(1)若(2a+3b)⊥(a-kb),求实数k的值;
(2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.
21.(12分)[上海浦东进才中学]如图,在梯形ABCD中,|DA|=2,∠CDA=π3,DA=2CB,E为AB中点,DP
(1)当λ=13时,用向量DC,DA
(2)若|DC|=t(t为大于零的常数),求|PE|的最小值,并指出相应的实数λ的值.
22.(12分)如图,已知扇形AOB的半径为1,中心角为60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,P为AB上一动点,问:点P在怎样的位置时,矩形PQRS的面积最大?并求出这个最大值.
答案:
2.C解析因为α=°=222°+5×360°,而222°是第三象限角,故角α的终边落在第三象限.
3.C解析因为x0,所以f(x)=5x+20x≥25x·20x=20,当且仅当5x=20x即
4.B解析设a=(x1,y1),b=(x2,y2),因为2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),所以2x1-x2=0,2y1-y
5.B解析依题意a,b为非零向量,a|a|
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