专题07 导数综合应用（解密讲义）（解析版）.docx

专题07导数综合应用（解密讲义）

【知识梳理】

【考点1】利用导数研究不等式恒成立问题

1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．

2．等价转化法求解不等式恒成立问题的思路

遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

3．含参数的能成立(存在型)问题的解题方法

a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.

4．含全称、存在量词不等式能成立问题

(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；

(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.

方法技巧：

求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

转化关

通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对?x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)

求最值关

求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题

【考点2】利用导数研究函数的零点和方程的根

1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

2.根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．

考点

考题

利用导数研究不等式恒成立问题

2023全国甲卷（文）T20，2023全国甲卷（理）T21

2023天津卷T20，2023全国新课标I卷T19

2023全国新课标II卷T22，2022年新高考II卷T22

利用导数研究函数的零点和方程的根

2023全国乙卷（文）T8，2022全国乙卷（文）T20

2022全国甲卷（理）T21，2022全国乙卷（理）T21

2022新高考I卷T10

考点一利用导数研究不等式恒成立问题

典例01（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx

(1)当a=1时，讨论f

(2)若fx+sin

【答案】(1)fx在0,

(2)a

【分析】（1）代入a=1后，再对fx求导，同时利用三角函数的平方关系化简

（2）法一：构造函数gx=fx+sinx，从而得到gx0，注意到g

法二：先化简并判断得sinx-sinxcos2x0恒成立，再分类讨论a

【详解】（1）因为a=1，所以f

则f

=cos

令t=cosx，由于x

所以cos3x+

因为t2+2t+2=t

所以fx=

所以fx在0,π

（2）法一：

构建gx

则g

若gx=f

则g0=

当a=0时，因为sin

又x∈0,π2，所以0sin

所以fx

当a0时，由于0x

所以fx

综上所述：若fx+sin

所以a的取值范围为-∞

法二：

因为sinx

因为x∈0,π2，所以

故sinx-sin

所以当a=0时，f

当a0时，由于0x

所以fx

当a0时，因为f

令gx=ax

注意到g

若?0xπ2，g

注意到g0=0，所以gx

若?0x0π2

所以在0,π2上最靠近x=0处必存在零点x

此时gx在0,x1上有g

则在0,x1上有gx

综上：a≤0

【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论a0这种情况的关键是，注意到g00，从而分类讨论gx在0,π2

典例02（2023·全国·统考高考真题）已知函数f

(1)当a=8时，讨论f

(2)若f(x)

【答案】(1)答案见解析.

(2)(-

【分析】（1）求导,然后令t=cos2

（2）构造g(x)=f(x)-sin2x,计算g(x)

【详解】（1）f

=

令cos2x=

则f

当a

当t∈0,12

当t∈12,1

所以f(x)在0,π4

（2）设g

g(

φ

所以φ(

1°若a∈(-

即g(x)在0,π2

所以