专题08 三角函数及恒等变换（解密讲义）（原卷版）.docx

专题08三角函数及恒等变换（解密讲义）

【知识梳理】

【考点1】任意角的三角函数

1．任意角的三角函数

(1)定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

（1）比值叫做α的正弦，记作，即；

（2）比值叫做α的余弦，记作，即；

（3）比值叫做α的正切，记作，即；

（4）比值叫做α的余切，记作，即；

说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

2．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：

(1)弧长公式：l＝αR．

(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2．

3．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.

4．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

方法技巧：

对于三角函数诱导公式，为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

【考点2】三角恒等变换

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基本公式

辅助角公式

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

；

．

．

注意：

方法技巧：

1.三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

2.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

3.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

4.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

考点

命题点

考题

任意角的三角函数

=1\*GB3①任意角及扇形相关公式

=2\*GB3②同角三角函数关系

=3\*GB3③三角函数诱导公式

2023北京卷T13，2023全国乙卷（文）T14

2022浙江卷T14，2022全国甲卷（理）T8

2021年北京卷T14

三角恒等变换

=1\*GB3①两角和与差的三角函数

=2\*GB3②二倍角公式

2023新课标I卷T8，2023新课标II卷T7

2022新高考II卷T6，2021全国乙卷（文）T6

2021新高考I卷T6

考点一任意角的三角函数

命题点1任意角及扇形相关公式

典例01（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD

A．11-332 B．11-432 C．

典例02（2021·北京·统考高考真题）若点A(cosθ,sinθ)关于y

典例03（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是

命题点2同角三角函数关系

典例01（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin2α+sin2

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是