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专题08三角函数及恒等变换(解密讲义)
【知识梳理】
【考点1】任意角的三角函数
1.任意角的三角函数
(1)定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么
(1)比值叫做α的正弦,记作,即;
(2)比值叫做α的余弦,记作,即;
(3)比值叫做α的正切,记作,即;
(4)比值叫做α的余切,记作,即;
说明:①α的始边与轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置;
②当时,α的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义;同理当时,无意义;
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
2.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则:
(1)弧长公式:l=αR.
(2)扇形面积公式:S=eq\f(1,2)lR=eq\f(1,2)αR2.
3.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:eq\f(sinα,cosα)=tanα.
4.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
eq\f(π,2)-α
eq\f(π,2)+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0~2π间角的三角函数值问题.
方法技巧:
对于三角函数诱导公式,为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与x轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
【考点2】三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基本公式
辅助角公式
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
;
.
.
注意:
方法技巧:
1.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
2.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
3.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
4.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
考点
命题点
考题
任意角的三角函数
=1\*GB3①任意角及扇形相关公式
=2\*GB3②同角三角函数关系
=3\*GB3③三角函数诱导公式
2023北京卷T13,2023全国乙卷(文)T14
2022浙江卷T14,2022全国甲卷(理)T8
2021年北京卷T14
三角恒等变换
=1\*GB3①两角和与差的三角函数
=2\*GB3②二倍角公式
2023新课标I卷T8,2023新课标II卷T7
2022新高考II卷T6,2021全国乙卷(文)T6
2021新高考I卷T6
考点一任意角的三角函数
命题点1任意角及扇形相关公式
典例01(2022·全国·统考高考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD
A.11-332 B.11-432 C.
典例02(2021·北京·统考高考真题)若点A(cosθ,sinθ)关于y
典例03(2020·浙江·统考高考真题)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面积展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是
命题点2同角三角函数关系
典例01(2023·全国·统考高考真题)设甲:sin2α+sin2
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是
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