专题12 数列与函数、不等式的综合问题（分层练）（解析版）_1.docx

专题验收评价

专题12数列与函数、不等式的综合问题

内容概览

A·常考题不丢分

考点一数列与函数、不等式的综合问题

B·拓展培优拿高分

C·挑战真题争满分

考点一数列与函数、不等式的综合问题

命题点1数列中函数模型的应用

1．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（????）（参考数据lg0.9753≈-0.01086

A．1108% B．1107%

【答案】B

【分析】根据题意，每年的剩余量可构成等比数列，据此求出800年后剩余量即可得解.

【详解】由题意，设一开始锶90质量为1，

则每年的剩余量构成以1-2.47%

则经过800年锶90剩余质量为a=1×

两边取常用对数可得：lga

所以a=

故选：B

2．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.

(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；

(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据1.003119≈1.428，

【答案】(1)290000元

(2)王先生该笔贷款能够获批

【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；

（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.

【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列an，Sn表示数列an的前

则a1=15000,a

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.

（2）设王先生每月还货额为x元，则有

x+

即x1-

故x=

因为992823000×12

3．“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=A(1+r)n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即

现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；

(1)已知一年期存款的年利率为2.5%

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.

参考数据：(1+2.5

【答案】(1)购置设备的方案较好

(2)27.88（万元）

【分析】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案.

解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案.

（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，T=2(1+2.5%

【详解】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值

25(1+2.5%

若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为

S=3(1+2.5

因此，付全款较好.

解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为

Q

?

?Q

比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.

（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元，

T

记1+2.5%

T

qT

作差可得：1-

?

?T=3?

4．在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体