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第二节数列的极限

教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备

教学重点：收数列的性质及运算法则

教学难点：数列极限概念的理解及计算

一、数列极限的概念及定义

本节讨论定义域为自然数集N,值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的顺

序排为

%=/⑴，%=/(2),…，％=/(〃)，...

因此，有下定义：

定义设f是定义于N上的一个函数，其函数值按〃=L2,3,…的顺序排成一个序:

须=/⑴，》2=/2（）,七=/3（）,…，4=/（〃），...

就成为数，简单地记作｛乙｝。七称为数的第n项或通项，n为脚标.

例如:

:1,一，一，…,一

23n

J-（l）l111-（1）-

n234n

3（）｛-（1严｝

4（）2｛〃｝:2,4,6,8,…,2〃,…，

心［2/1-11.3572//-1

InJ234n

观察上面的几个数，我们可以发现随着〃的无限增大，有的数无限的趋近一个常数

a,有的数无限增大，而有的数则与前两种情况不同.数的极限就是研究在自变量〃无

限增大这种趋势下,因变量的变化趋势.当〃-8（即〃无限增大）时，如果的

X=/（〃）的变化趋势由一个确切的“目标”a,那么常数。就叫做该数/（〃）在“18

时的极限.例如：当〃―8时，的极限为0,I〃J的极限也是0,I〃J的极

限为2,而｛2〃｝与｛T（）｝没有极限.

如果数当〃无限增大时，数招的取值能无限接近常数。，我们就称。是》当

〃一＞8时的极限，记作

limx=a

n—coM.

当然，以上的说法仅仅是数极限的一种定性描述.我们在研究数极限时，只凭定性描述

和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠的，因此有

必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数的极限.我们注意到在数极限中

8”，以及“血无限的趋近于。，，，它主要强调的是“一个过程”以及一种，，接近”

程度，经过前人的不断总结给出了一下定义.

设X为一个数对于任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正整数N,使得对于

〃N时的一切五,不等式

k-4£

都成立，则称常数a是数X”的极限，或者称数X收敛于，记为

limx=a,

n

或a(-8)

如果数没有极限，就说数是发散的.

为了以后论述的方便，数极限的定义，常用逻辑符号来表达：

V£0JN0,使得V〃〉N,有氏一。|£

定义中极限。(。是一个常数)及任意给定的正数£,它确定了。一个领域(a—+£)；

总存在正整数N,也确定数X，，中的某一项标；只要〃〉N,就有瓦一况£成立.即说