2024-2025学年上海市曹杨第二中学高三上学期10月月考数学试卷含详解.docx

曹杨二中高三月考数学试卷

2024.10

一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.设.若纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________.

2.函数的定义域为________.

3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________.

4.设，若圆的面积为，则__________．

5.在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______．

6.设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是__________.

7.已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______．

8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________.

9.设，，则不等式的解集为__________.

10.已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________．

11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个.

12.设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为______．

二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.已知，则“(k∈Z)，是“”的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

14.若，且，则必有（）

A B. C. D.

15.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（）

A. B. C. D.

16.已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

三.解答题(本大题共有5题，满分78分)

17.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点.

（1）若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积；

（2）若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小.

18.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知．

（1）求角A大小；

（2）设D为边上一点，且，若，，求．

19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中．

（1）若甲企业独家经营，其研发成本为60万元，求甲企业能获得利润的最大值；

（2）若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变）

（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整…，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大)，求动态平衡时，两企业各自的产量．

20.已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）求证：直线、的斜率之积为定值；

（3）设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

21.给定函数y=fx，若点P是曲线y=fx的两条互相垂直的切线的交点，则称点P为函数y=fx的“正交点”.记函数y=fx的所有“正交点

（1）若，求证：；

（2）若，求证：函数y=fx的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线的方程；

（3）设，，记函数y=fx图像上所有点组成的集合为N.若，求a的取值范围.

曹杨二中高三月考数学试卷

2024.10

一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________.

【答案】-2

【分析】先将展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解的值.

【详解】展开,

因为，所以原式可化为.

因为为纯虚数，所以实部，解得.

此时虚部，符合纯虚数的定义.

故答案：-2

2.函数的定义域为________.

【答案】.

【分析】令即可求出的取值范围，从而可求