2024-2025学年上海市第三女子中学高三上学期9月月考数学试卷含详解.docx

2025届市三女中高三年级上学期月考

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）

1.复数（是虚数单位）的实部是______

2.不等式的解集为______

3.如果，且为第四象限角，则的值是________

4.二项式展开式中的系数为__________.

5.记等差数列an的前项和为，若，，则_________．

6.已知向量，的夹角为，且，，则______

7.已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为_______．

8.已知x?，且，则的最大值为___________

9.在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________.

10.某市高考新政规定每位学生在物理?化学?生物?历史?政治?地理中选择三门作为等级考试科目，则甲?乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）

11.已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______

12.已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.

二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）

13.已知，，则下列不等式一定成立是（）

A. B. C. D.

14.若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）

A. B. C. D.

15.函数的图象可能是（）

A. B.

C. D.

16.函数，零点的个数不可能是（）

A.12个 B.13个 C.14个 D.15个

三、解答题（共78分）

17.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．

（1）求直线和平面的夹角；

（2）求点到平面的距离．

18.已知向量，且，

（1）求函数在上的单调递减区间；

（2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.

19.如图所示，边长为2（百米）正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

（1）求弯道段所确定的函数的表达式；

（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.

20.已知函数.

（1）求证：函数是上的减函数；

（2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数最大值.

21.已知椭圆：的长轴长为，离心率为，直线与椭圆有两个不同的交点；

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的方程为，椭圆上的点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；

（3）设，直线与椭圆另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求直线的斜率的值；

2025届市三女中高三年级上学期月考

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）

1.复数（是虚数单位）的实部是______

【答案】1

【分析】由复数除法运算化简复数为代数形式，再根据定义可得．

【详解】，实部为1，

故答案为：1.

2.不等式的解集为______

【答案】

【分析】根据绝对值的几何意义求解．

【详解】，

故答案为：．

3.如果，且为第四象限角，则的值是________

【答案】

【分析】为第四象限角，所以可算出为正值，即可算出。

【详解】因为，又为第四象限角，所以

即。

故答案为：

【点睛】此题考查三角函数值，记住两个基本公式和每个象限三角函数正负值即可，属于简单题目。

4.二项式的展开式中的系数为__________.

【答案】

【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式即可得到结果.

【详解】二项式的展开式中的通项公式为，

令，则，故展开式中的系数为.

故答案为：

5.记等差数列an的前项和为，若，，则_________．

【答案】14

【分析】根据等差数列的通项求出首项与公差，再根据等差数列前项和即可得解.

【详解】设公差为，

由，，

得，解得，

所以，

所以．

故答案为：

6.已知向量，的夹角为，且，，则______

【答案】

【分析】平方把求模转化为数量积的运算．

【详解】，

故答案为：．

7.已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为_______．

【答案】

【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，