人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示.docVIP

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6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1平面向量基本定理

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

A级必备知识基础练

1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()

A.0,0 B.1,1

C.3,0 D.3,4

2.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP

A.m0,n0 B.m0,n0

C.m0,n0 D.m0,n0

3.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的是()

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2

C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O

D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

4.在平行四边形ABCD中,若DE=EC,AE交BD于点F,则

A.23AB

C.13AB

5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.?

6.已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.?

7.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以{e1,e2}为基底来表示OC=,OD=.?

8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23

(1)用a,b表示AD,

(2)求证:B,E,F三点共线.

B级关键能力提升练

9.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=()

A.12 B.2

C.67

10.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.?

11.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λ

12.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB,m,n∈R,则1m

13.如图,已知O为平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°|OA|=|BC|=2|AB|=2a.

参考答案

6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1平面向量基本定理

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

1.D因为向量e1与e2不共线,所以3x=4y-7

2.B如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,则

3.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.

4.D如图,∵DE=EC,∴E为CD的中点.设AF=λAE=λAB+BC+12CD=λAB+AD-12AB=λ

5.6由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,

即xe1+2e2=3λe1+λye2,

所以x=3λ,

6.-2∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.

7.23e1+13e213e1+23e2OC=OA+AC=OA+13AB=e1+

OD

=23e1+13e2+13(e2

8.(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD

(2)证明由(1)知,BE=23

又BE,BF有公共点B,

9.C由题意可得AP=2QP,QB=2

AB=a=AQ+QB=1

AC=AP

由①②求得AP=27a+47b.再由AP=ma+nb可得m=27

10.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(

11.6如图,作平行四边形ODCE,则OC=

在Rt△OCD中,因为|OC|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD|=4,|CD|=2,

故OD=4OA,OE=2

即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.

12.3设OA=a,OB=b,

由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG

13.解(1)过点B作BD