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2024届上海市6校高三下学期百日冲刺模拟考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为()
A. B. C. D.
2.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()
A.3 B.6 C.9 D.12
3.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.的展开式中有理项有()
A.项 B.项 C.项 D.项
5.已知,则()
A. B. C. D.
6.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()
A. B.2 C. D.
7.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为()
A. B. C. D.
8.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()
A.5 B.11 C.20 D.25
9.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为()
A. B. C. D.
10.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()
A. B. C. D.
11.定义域为R的偶函数满足任意,有,且当时,.若函数至少有三个零点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
12.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若,则为()
A. B.40 C.16 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数,在区间上随机取一个数,则使得≥0的概率为.
14.某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,则该市的任意位申请人中,恰好有人申请小区房源的概率是______.(用数字作答)
15.若,则的最小值是______.
16.在三棱锥中,三条侧棱两两垂直,,则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.
18.(12分)已知等差数列{an}的各项均为正数,Sn为等差数列{an}的前n项和,.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设bn=an?3n,求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(12分)如图,四边形为菱形,为与的交点,平面.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,三棱锥的体积为,求菱形的边长.
20.(12分)已知,函数.
(1)若,求的单调递增区间;
(2)若,求的值.
21.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;
(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
22.(10分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上
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