2025年新课标理科数学高频考点与真题解析第九章微专题-资料包(带答案解析).docx

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微专题应用创新

微专题一设而不求巧消参,破解圆锥曲线定值(定点)问题

1.(2024安徽六安舒城中学一模,21)如图,已知抛物线C:y2=2px(p0)上的点R的横坐标为1,焦点为F,且|RF|=2,过点P(-4,0)作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,D为线段PA上的动点,过D作抛物线的切线,切点为E(异于点A,B),且直线DE交线段PB于点H.

(1)求抛物线C的方程;

(2)求证:|AD|+|BH|为定值.

解析(1)由题可得抛物线C:y2=2px(p0)的焦点坐标为Fp2

因为|RF|=2,所以1--p

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明:设直线AP:y=k(x+4)(k≠0),

由y=k(x+4),y2=4x

则Δ=(8k2-4)2-4k2×16k2=0,解得k=±12

所以直线AP:y=12

设D(2t,t+2),t∈(-2,2),直线DH:x=m(y-t-2)+2t.

由x=m(y-

解得m=t或m=2(舍),

所以直线DH:x=ty-t2.

由x=

故|AD|+|BH|=1+1

故|AD|+|BH|为定值.

2.(2024河南安阳联考,21)已知抛物线C:y2=2px(p0),过点R(2,0)作x轴的垂线交抛物线C于G,H两点,且OG⊥OH(O为坐标原点).

(1)求p;

(2)过点Q(2,1)任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A,B两点,直线AR交抛物线C于不同于点A的另一点M,直线BR交抛物线C于不同于点B的另一点N.求证:直线MN过定点.

解析(1)由题意知,|RG|=|OR|=2,不妨设G(2,2),代入抛物线C的方程可得p=1.

(2)证明:由(1)知,抛物线C的方程为y2=2x.

设Ay1

则kAB=y1-y2y122-y2

同理直线AM,BN的方程分别为2x-(y1+y3)y+y1y3=0,2x-(y2+y4)y+y2y4=0.

由直线AB过Q(2,1)及直线AM,BN过R(2,0)可得4-(y1+y2)+y1y2=0,y1y3=y2y4=-4.

又直线MN的方程为2x-(y3+y4)y+y3y4=0,即2x+4y

所以直线MN的方程为y1y2x+2(y1+y2)y+8=0.

把4-(y1+y2)+y1y2=0代入y1y2x+2(y1+y2)y+8=0,得y1y2x+2(y1y2+4)y+8=0,即y1y2(x+2y)+8y+8=0.

由x+2y=0,8y+8=0可得x=2,y=-1.

所以直线MN过定点(2,-1).

3.(2024哈尔滨九中二模,21)已知椭圆C:x2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)不与坐标轴垂直的直线l经过椭圆C的右焦点F,且与椭圆C交于M、N两点,线段MN的垂直平分线与x轴交于点P,求证:当l的方向变化时,|MN|与|PF|的比值为常数.

解析(1)由离心率e=12

由点A-1

由b2=a2-c2=3c2得14

所以a=2,b=3,

故椭圆C的标准方程为x2

(2)证明:设直线MN的方程为x=ty+1(t≠0).

联立x=ty+1,x24+y

设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-6

由弦长公式得|MN|=(1+

设线段MN的中点坐标为(x0,y0),

则y0=y1

则线段MN的垂直平分线的方程为y+3t

于是|PF|=|1-xP|=3(

故当l的方向改变时,|MN|与|PF|的比值为常数4.

方法点睛求定值问题的常用方法有两种:

(1)从特殊情形入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;

(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定值.

4.(2024山东烟台、德州一模,21)已知椭圆C:x2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若A(-2,0),直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且AP⊥AQ,试判断直线l是否过定点.若是,求出此定点的坐标;若不是,说明理由.

解析(1)由已知得ca=3

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立x24+y2=1,y=kx+m,消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)0,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=k2·4m

故x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=4m

当m=2k时,直线l为y=k(x+2),过点A,不满足题意,

当m=65

5.(2024海南新高考模拟卷一,22)已知A(-2,0),B(2,0)分别是椭圆C:x2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l的方程为x=4,若直线AP与直线l交于点M,直线BP与直线l交于点N,求证:MF·NF为定值.

解析