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2024届上海市静安区、青浦区高三第八次适应性考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a10”是“S9S8”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
3.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()
A.134 B.67 C.182 D.108
4.若数列满足且,则使的的值为()
A. B. C. D.
5.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()
A.1 B.2 C. D.4
6.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()
A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}
C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
8.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()
A.9 B.10 C.18 D.20
9.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()
A. B. C. D.
10.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()
A.1 B. C.3 D.4
11.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
12.记递增数列的前项和为.若,,且对中的任意两项与(),其和,或其积,或其商仍是该数列中的项,则()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.
14.若,则________.
15.已知实数满足(为虚数单位),则的值为_______.
16.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、,其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点,、分别为曲线、的离心率,若是以为底边的等腰三角形,则的取值范围为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且,,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)当时,证明:对;
(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围。
19.(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.
(ⅰ)求面积最大值;
(ⅱ)证明:直线与斜率之积为定值.
20.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况,随机抽查了60名家庭轿车驾驶员,统计其中有40名男性驾驶员,其中平均车速超过的有30人,不超过的有10人;在其余20名女性驾驶员中,平均车速超过的有5人,不超过的有15人.
(1)完成下面的列联表,并据此判断是否有的把握认为,家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关;
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
(2)根据这些样本数据来估计总体,随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中,驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为,假定抽取的结果相互独立,求的分布列和数学期望
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