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2024届上海市静安区上海市市西中学高三5月半月考试数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．二项式的展开式中，常数项为（）

A． B．80 C． D．160

2．在中，，，，则在方向上的投影是（）

A．4 B．3 C．-4 D．-3

3．已知函数满足，当时，，则（）

A．或 B．或

C．或 D．或

4．集合,则集合的真子集的个数是

A．1个 B．3个 C．4个 D．7个

5．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，，则.其中正确的是（）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

6．设，，是非零向量.若，则（）

A． B． C． D．

7．已知为锐角，且，则等于（）

A． B． C． D．

8．在的展开式中，的系数为()

A．-120 B．120 C．-15 D．15

9．已知实数，满足，则的最大值等于()

A．2 B． C．4 D．8

10．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）

A． B．-2 C． D．2

11．设，则复数的模等于()

A． B． C． D．

12．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

14．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．

15．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.

16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.

（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

18．（12分）已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；

（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．

19．（12分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且

(1)求角A；

(2)若且求△ABC的面积．

20．（12分）已知，均为正数，且.证明：

（1）；

（2）.

21．（12分）已知函数，.

（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；

（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

22．（10分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.

（Ⅰ）证明：平面平面垂直；

（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.

【详解】

解：二项式展开式的通式为，

令，解得，

则常数项为.

故选：A.

【点睛】

本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.

2、D

【解析】

分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.

详解：如图所示：

，

，

，

又，，

在方向上的投影是：，

故选D.

点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.

3、C

【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.

【详解】

由，

可知函数关于对称

当时，，

可知在单调递增

则

又函数关于对称，所以

且在单调递减，

所以或，故或

所以或

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.

4、B

【解析】

由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得