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2024届深圳市重点中学高三5月阶段质量检测试题数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
2.设且,则下列不等式成立的是()
A. B. C. D.
3.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知随机变量满足,,.若,则()
A., B.,
C., D.,
5.已知双曲线的左,右焦点分别为、,过的直线l交双曲线的右支于点P,以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切,切点为H,若,则双曲线C的离心率为()
A. B. C. D.
6.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为()
A. B. C. D.
7.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()
A. B.
C. D.
8.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图,根据表和统计图,以下描述正确的是().
金牌
(块)
银牌
(块)
铜牌
(块)
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88
A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不具有实际意义
C.第30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
9.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()
A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
10.设函数,当时,,则()
A. B. C.1 D.
11.若复数(为虚数单位),则()
A. B. C. D.
12.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.给出以下式子:
①tan25°+tan35°tan25°tan35°;
②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);
③
其中,结果为的式子的序号是_____.
14.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为_____.
15.设集合,(其中e是自然对数的底数),且,则满足条件的实数a的个数为______.
16.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M?),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1?(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
18.(12分)已知
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