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2024届四川省成都七中实验学校高三下学期四校联考试题(5月)数学试题试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()
A. B. C. D.
2.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:
根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A. B.
C. D.
3.函数的图象可能为()
A. B.
C. D.
4.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()
A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}
C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B.
C. D.
6.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()
A. B. C. D.
7.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()
A. B.
C. D.
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQ⊥y轴交y轴于点Q,则的最小值为()
A. B. C.l D.1
9.复数为纯虚数,则()
A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i
10.设函数,则,的大致图象大致是的()
A. B.
C. D.
11.已知平面向量,满足且,若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为()
A. B. C. D.1
12.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()
A.4 B.6 C.3 D.8
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数在区间上的值域为______.
14.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.
15.如图,的外接圆半径为,为边上一点,且,,则的面积为______.
16.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,函数的最小值为1.
(1)证明:.
(2)若恒成立,求实数的最大值.
18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线的斜率分别为.
①若,求证:直线过定点;
②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.
19.(12分)如图,四边形为菱形,为与的交点,平面.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,三棱锥的体积为,求菱形的边长.
20.(12分)已知函数,其中.
(1)①求函数的单调区间;
②若满足,且.求证:.
(2)函数.若对任意,都有,求的最大值.
21.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
22.(10分)设函数,,其中,为正实数.
(1)若的图象总在函数的图象的下方,求实数的取值范围;
(2)设,证明:对任意,都有.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到
故答案为:D.
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
2、C
【解析】
由题可得,解得,
则,,
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C.
3、C
【解析】
先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.
【详解】
因为,
所以是奇函数,故排除A,B
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