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第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=cos(2x-π6)
A.π2 B.π C.2π
答案B
解析所求最小正周期T=2π2
2.函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为()
A.2π B.3π2 C.π D.
答案C
解析∵sin(x+π)=-sinx,|sinx|=|-sinx|,
∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.
3.函数f(x)=x+sinx,x∈R()
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
答案A
解析由x∈R,f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),可知f(x)是奇函数.
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是()
A.y=cosx2 B.y=cos(x+32
C.y=|cosx2|
答案BC
解析y=cosx2的周期T=2π
y=cos(x+32π)
y=|cosx2|
y=|cos2x|的周期T=π2
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,fπ4=1,则f3π
A.1 B.-1 C.0 D.2
答案B
解析f3π4=fπ-π4=f
6.已知函数f(x)=cosωx+π
A.关于点π6,0对称
C.关于点π3,0对称
答案A
解析由已知可得ω=2ππ=2,所以f(x)=cos2x+
因为fπ6=0,所以点π
因为fπ3≠0,所以点π
因为fπ3=-32≠±1,所以直线x=
7.若0απ2,g(x)=sin2x+π4
答案π
解析要使g(x)=sin2x+π4+α为偶函数,则须π4+α=kπ+
所以α=kπ+π4,k∈
因为0απ2,所以α=π
8.已知函数f(x)=2cosωx+π3(ω0)的最小正周期为π,则ω=
答案2
解析因为2π|
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin12
解f(x)=cos(2π-x)-x3sin12x=cosx-x3sinx2的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x2)=cosx-x3
10.若函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x-sinx,求当x0时,f(x)的解析式.
解当x0时,-x0,
∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x-sinx(x0).
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是()
A.π2 B.π C.3π2
答案ACD
解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0),若直线x=-π4是函数f(x)图象的一条对称轴,点π
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)
答案C
解析∵直线x=-π4
∴-π4ω+φ=k1π-π2(k1∈
又点π4
∴π4ω+φ=k2π(k2∈Z).
∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1.
∵k1,k2∈Z,ω0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.
3.若函数f(x)=cosωx+π4(ω0)的相邻两个零点之间的距离为
A.3 B.6 C.12 D.24
答案B
解析函数f(x)=cosωx+π4(ω0)的相邻两个零点之间的距离为π6
由2πω
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=.?
答案sinπx(答案不唯一)
解析由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asinωx(Aω≠0),满足f(-x)=-Asinωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T=2π|
故函数可以是f(x)=sinπx(答案不唯一).
5.已知函数f(x)=cos(x2+π3),则f(x)的最小正周期是
答案4π(2kπ+π3,0),k∈
解析由f(x)=cos(x2+π3
令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+
6.已知函数f(x)=2sinωx+φ-π6
(1)求fπ8
(2)求函数y=fx+π
(3)当x∈0,
解(1)f(x)=2sinωx+φ-π6(0φπ,ω0)是偶函数,则φ-π
解得φ=2π3+kπ(k∈
又0φπ,所以φ=2π3
所以f(x)=2sinωx+π
由题意得2π|ω|
故f(x)=2cos2x,因此fπ8=2cosπ
(2)由f(x)=2cos2x,
得y=fx+π6=2cos(2x+π
令2x+π3=kπ,k∈Z,即x=kπ
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