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构造函数解不等式及比较大小
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)?g(x)、f(x)g(x)、f(x)”等特征式、解答这类问
g(x)
题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题.
1、导数和差,构造和差型函数:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
(1)f′(x)-g′(x)0:构造:h(x)=f(x)-g(x); (2)f′(x)+g′(x)0:构造:h(x)=f(x)+g(x).
2、和与积联系,构造乘积型函数:f(x)g(x)?f(x)g(x)?[f(x)g(x)]
(1)f(x)?xf?(x),构造xf(x); (2)2xf(x)?x2f?(x),构造x2f(x);
(3)3f(x)?xf?(x),构造x3f(x); (4)nf(x)?xf?(x),构造xnf(x);
(5)f?(x)?f(x),构造exf(x); (6)f(x)?f(x)?a,构造[ex(f(x)?a)];
(7)sinxf(x)?cosxf(x),构造[sinxf(x)]; (8)tanxf(x)?f(x),构造[sinxf(x)],x????,??
3、差与商联系,构造分式型函数:
f(x)g(x)?f(x)g(x)
g2(x)
?f(x)?
??g(x)?
? ?
? 22?
? ?
(1)xf?(x)?f(x)?0,构造F(x)?f(x); (2)xf?(x)?2f(x)?0,构造F(x)?f(x);
x x2
(3)xf?(x)?nf(x)?0,构造F(x)?f(x), (4)f?(x)?f(x),构造F(x)?f(x),
(5)f(x)?f(x)?a,构造
xn
?(f(x)?a)?
, (6)f?(x)?2f(x),构造F(x)?
ex
f(x),
?? ex ??
f(x) ?
e2x
?f(x)??
(7)f?(x)?nf(x),构造F(x)?
enx
, (8)sinxf
(x)?cosxf(x),构造
??sinx??
? ?f(x)??
? ?f(x)?? ????
(9)cosxf
?sinxf(x),构造?cosx?; (10)tanxf(x)?f(x),构造?sinx?,x???
, ?.
? ? ? ?
? 22?
【类型一】构造“y?f(x)?g(x)”型可导函数
【例1】(2020银川一中模拟)设奇函数f(x)在R上的可导函数,当x>0时有f?(x)?cosx<0,则当x≤0时,有( )
A.f(x)?sinx≥f(0) B.f(x)?sinx≤f(0)
C.f(x)?sinx≥f(0) D.f(x)?sinx≤f(0)
【答案】A
【解析】联想[f(x)?sinx]??f?(x)?cosx,可设g(x)?f(x)?sinx,则g(x)在?0,?∞?在上为减函数,
又 为奇函数,故g(x)也为奇函数,所以g(x)在(?∞,0]上也为减函数,故当 时,g(x)≥g(0),即f(x)?sinx≥f(0)?sin0?f(0).
【练习1】定义在?0,?∞?上的函数f(x)满足xf?(x)?1?0,且f(1)?1,则不等式f?2x?1??ln?2x?1??1的
解集是 .
2【答案】?1,1?
2
【解析】F(x)?f(x)?lnx,则F?(x)?f?(x)
?1?xf?(x)?1,而xf?(x)?1?0,且x?0,∴F?(x)?0,即F(x)
x x
在?0,?∞?上单调递减,不等式f?2x?1??ln?2x?1??1可化为f?2x?1??ln?2x?1??1?1?ln1,
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