人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册课后习题 第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质.docVIP

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第2课时等比数列的性质

课后·训练提升

基础巩固

1.已知{an}是等比数列,则“a2a4”是“{an}是递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:由数列{an}是等比数列,可假设a1=-2,q=-2,则a1=-2,a2=4,a3=-8,a4=16,

可知a2a4,但数列{an}不是递增数列;

若数列{an}是递增数列,则由定义可知,a2a4,故“a2a4”是“{an}是递增数列”的必要不充分条件.

2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()

A.a1,a3,a9成等比数列

B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列

D.a3,a6,a9成等比数列

答案:D

解析:因为a62=a3a

所以a3,a6,a9成等比数列.

3.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a

A.-5 B.-15 C.5 D.

答案:A

解析:由题知log3an+1=log3(3an)=log3an+1,

则an+1=3an0,即an+1an

则a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=9×33=35,

得log13(a5+a7+a9)=log1

4.(多选题)已知等比数列{an}的公比q=-23,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9b9,且a10b10

A.a9a100 B.a9a10

C.b100 D.b9b10

答案:AD

解析:因为等比数列{an}的公比q=-23,所以a9和a10异号,所以a9a10

但不能确定a9和a10的大小关系,故B不正确;

因为a9和a10异号,且a9b9,且a10b10,

所以b9和b10中至少有一个数是负数,

又b1=120,所以公差d0,所以b9b10,故D正确;

所以b10一定是负数,即b100,故C不正确.

故选AD.

5.在等比数列{an}中,若a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7=.?

答案:256

解析:设等比数列{an}的公比为q.

∵a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,∴a3a8=213.

∵a3=16=24,∴a8=29=512.

又a8=a3q5,∴q=2,∴a7=a8

6.已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d=.?

答案:90

解析:由题知a+b=6+48=54,dc

故a+b+c+d=54+12+24=90.

7.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于平方厘米.?

答案:2048

解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N*),则第10个正方形的面积S=a102=22×29=2

8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则

lna1+lna2+…+lna20=.?

答案:50

解析:因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,

所以lna1+lna2+…+lna20

=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]

=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10lne5=50lne=50.

9.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.?

答案:1

解析:设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28q

所以28q+28+28q=98,所以q=2或q=12.又0q1,所以q=

10.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中有多少只蜜蜂?

解:设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,根据题意得数列{an}成等比数列,它的首项为6,公比q=6,所以{an}的通项公式为an=6×6n-1=6n,到第六天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中有a6=66=46656只蜜蜂.

11.海滩上有一堆苹果,五只猴子来分,第一只猴子把苹果分成五等份,多一个,于是它把多的一个扔到海里,取走一份;第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份,多了一个,它把多的一个扔到海里,取走一份;以后的三只猴子都是如此处理.问原来至少有多少个苹果?最后至少剩下多少个苹果?

解:设最初的苹果数为a1,五只猴子分剩的苹果数依次为a2,