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【导数】导数压轴题之导数中的卡根思想应用
1.已知函数,.
(1)函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,求出整数的最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)函数与无公共点,
等价于方程在无解(2分)
令,则,令,得
0
增
极大值
减
因为是唯一的极大值点,故(4分)
故要使方程在无解,
当且仅当故实数的取值范围为(5分)
(2)假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立.
即对恒成立.(6分)
令,则,
令,则,(7分)
在上单调递增,,(1),
且的图象在上连续,
存在,使得,即,则,(9分)
当时,单调递减;
当,时,单调递增,
则取到最小值,
,即在区间内单调递增.(11分),
存在实数满足题意,且最大整数的值为1.(12分)
2.已知函数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,,求在,上的最小值(结果用表示);
(Ⅲ)关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
【解析】解:
(Ⅰ),,
令,解得:,令,解得:,
故函数在递减,在,递增;
(Ⅱ)函数,,,
令,由(Ⅰ)得:在,上单调递增,
所以,,
的图象的对称轴,若,,
则,
在,上递增,
,
即在,上的最小值是;
(Ⅲ)由恒成立,
化为:,
只需,.
,
令,解得,此时函数单调递增;
令,解得,此时函数单调递减.
当时,函数取得极大值即最大值,(e),
.
整数的最小值为1.
3.已知函数在,(1)处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数、的值;
(Ⅱ)设,若,且对任意的恒成立,求的最大值.
【解析】解:
(Ⅰ),
故且,解得:,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:对任意恒成立,
设,则,
令,,则,
故函数为上的增函数,
(8),,
故在上有唯一零点,即成立,
故,
当时,,即,
时,,即,
故在递减,在,递增,
故,
故,,,
,
故的最大值是4.
4.已知函数,.
(Ⅰ)函数与的图象无公共点,试求实数的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的,,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,请求出最大整数的值;若不存在,请说理由.
(参考数据:,,,.
【解析】解:
设与的图象相切,切点为,,
则,解得,.
函数与的图象无公共点,
.
假设存在实数满足题意,
则不等式在,上恒成立.
即在,上恒成立.
令,则,
,
在,上单调递增,且,(1),
存在,,使得,即,,
当,时,单调递减;当,时,单调递增,
的最小值,
,在区间,内单调递增.
,
存在实数满足题意,且最大整数的值为1.
5.已知函数,曲线在,(1)处的切线方程为.
(1)求实数,的值;
(2)如果不等式恒成立,求整数的最大值.
【解析】解:
(1),
,
由题意可得,,
解可得,,,
(2)由可得,,
由恒成立可得,,
令,
则,
令,
则,
单调递增,而(2),(3),
所以有唯一的实数根,且,
,
,,
故的最大值3.
6.已知函数,
求函数的单调区间,
(Ⅱ)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
【解析】解:
(Ⅰ)的定义域是,,
时,,递增,
时,令,解得:,令,解得:,
故在递增,在,递减;
(2)恒成立,可得恒成立,
等价为在恒成立.
令,只需,
,令,可得,
设,,
在递减,设的根为,当,,
当,时,,
在递增,在,递减,
即有,
由,(1),则,
此时,即,
即a≥
则有整数的最小值为2.
7.已知函数,,,为自然对数的底数),且在点,(e)处的切线方程为
(Ⅰ)求实数,的值;
(Ⅱ)求证:f(x)
【解析】
(Ⅰ)解:,
(e),且(e),
又在点,(e)处的切线方程为,
切点为,
,
解得:;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,,且的定义域为,
令,
则,
令,可知在上为减函数,且,(1),
,使得,即,
当时,,,则为增函数;
当,时,,,则为减函数.
,
又,,即,
,即F(x0
所以f(x)
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