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【导数】导数压轴题之导数中的卡根思想应用

1．已知函数，．

（1）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数的最大值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）函数与无公共点，

等价于方程在无解（2分）

令，则，令，得

0

增

极大值

减

因为是唯一的极大值点，故（4分）

故要使方程在无解，

当且仅当故实数的取值范围为（5分）

（2）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立．

即对恒成立．（6分）

令，则，

令，则，（7分）

在上单调递增，，（1），

且的图象在上连续，

存在，使得，即，则，（9分）

当时，单调递减；

当，时，单调递增，

则取到最小值，

，即在区间内单调递增．（11分），

存在实数满足题意，且最大整数的值为1．（12分）

2．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，，求在，上的最小值（结果用表示）；

（Ⅲ）关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

【解析】解：

（Ⅰ），，

令，解得：，令，解得：，

故函数在递减，在，递增；

（Ⅱ）函数，，，

令，由（Ⅰ）得：在，上单调递增，

所以，，

的图象的对称轴，若，，

则，

在，上递增，

，

即在，上的最小值是；

（Ⅲ）由恒成立，

化为：，

只需，．

，

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减．

当时，函数取得极大值即最大值，（e），

．

整数的最小值为1．

3．已知函数在，（1）处的切线方程为．

（Ⅰ）求实数、的值；

（Ⅱ）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值．

【解析】解：

（Ⅰ），

故且，解得：，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：对任意恒成立，

设，则，

令，，则，

故函数为上的增函数，

（8），，

故在上有唯一零点，即成立，

故，

当时，，即，

时，，即，

故在递减，在，递增，

故，

故，，，

，

故的最大值是4．

4．已知函数，．

（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由．

（参考数据：，，，．

【解析】解：

设与的图象相切，切点为，，

则，解得，．

函数与的图象无公共点，

．

假设存在实数满足题意，

则不等式在，上恒成立．

即在，上恒成立．

令，则，

，

在，上单调递增，且，（1），

存在，，使得，即，，

当，时，单调递减；当，时，单调递增，

的最小值，

，在区间，内单调递增．

，

存在实数满足题意，且最大整数的值为1．

5．已知函数，曲线在，（1）处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）如果不等式恒成立，求整数的最大值．

【解析】解：

（1），

，

由题意可得，，

解可得，，，

（2）由可得，，

由恒成立可得，，

令，

则，

令，

则，

单调递增，而（2），（3），

所以有唯一的实数根，且，

，

，，

故的最大值3．

6．已知函数，

求函数的单调区间，

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

【解析】解：

（Ⅰ）的定义域是，，

时，，递增，

时，令，解得：，令，解得：，

故在递增，在，递减；

（2）恒成立，可得恒成立，

等价为在恒成立．

令，只需，

，令，可得，

设，，

在递减，设的根为，当，，

当，时，，

在递增，在，递减，

即有，

由，（1），则，

此时，即，

即a≥

则有整数的最小值为2．

7．已知函数，，，为自然对数的底数），且在点，（e）处的切线方程为

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求证：f(x)

【解析】

（Ⅰ）解：，

（e），且（e），

又在点，（e）处的切线方程为，

切点为，

，

解得：；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，且的定义域为，

令，

则，

令，可知在上为减函数，且，（1），

，使得，即，

当时，，，则为增函数；

当，时，，，则为减函数．

，

又，，即，

，即F(x0

所以f(x)