6-8隐函数存在定理-课件.pptVIP

6-8隐函数存在定理

y=f(x)形式的函数称为显函数.

由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.

由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数.

可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?

本节讨论:

1)方程在什么条件下才能确定隐函数.

例如,方程

当C0时,能确定隐函数;

当C0时,不能确定隐函数;

2)在方程能确定隐函数时,

研究其连续性、可微性

及求导方法问题.

1.一个方程的情况

定理1

定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

两边对x求导

在

的某邻域内

则

例1.验证方程

在点(0,0)某邻域

可确定一个单值可导隐函数

解令

连续,

由定理1可知,

①

导的隐函数

则

②

③

在x=0的某邻域内方程存在单值可

且

并求

定理2

定理证明从略,仅就求导公式推导如下:

两边对x求偏导

同样可得

则

解法1

利用公式.

令

则

解法2利用隐函数求导

方程两端关于x求偏导，得

方程两端关于y求偏导，得

说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).

解

设u=x-y,v=y-z.

为了方便起见,引入记号

2.方程组的情况

可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?

先介绍线性代数中的克莱姆法则

二元一次方程组

我们的问题相当于解方程组

方程组有惟一解

当F及G是一般函数时，需要下列条件

行列式称作F,G的雅可比行列式.

定理3

定理3的推广

考虑方程组：

有隐函数组

则

两边对x求导得

设方程组

在点P的某邻域内

故得

系数行列式

同样可得

例4由方程组

能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求

解

方程组两边对x求导，并移项得

方程组两边对x求导，并移项得

用克莱姆法则解方程组

方程组两边对y求导，并移项得

解得

解

内容小结

1.隐函数(组)存在定理

2.隐函数(组)求导方法

方法1.利用复合函数求导法则直接计算;

方法2.利用微分形式不变性;

方法3.代公式

思考与练习

设

求

提示:

解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.

由dy,dz的系数即可得

习题6-8(2)(4);3.5.7.8.10..11.

我们，还在路上……

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