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综合检测(A卷)
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:若直线l1与l2平行,则a=-2或a=1,故“a=1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件.
2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,m=a+2b-3c,n=∥n,则xy
A.-3 B.-13
C.3 D.1
答案:C
解析:由已知得m=a+2b-3c,n=(,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c=λ(a+2b-3c),所以x+3=λ,x-y=2λ,
3.已知圆C1:()2=9与圆C2:(的值为()
A.2 B.-5
C.2或-5 D.不确定
答案:C
解析:圆C1:()2=9的圆心为(-2,m),半径为3,圆C2:(,-1),半径为2.
依题意有(-2-m
4.以双曲线x2
A.y2=12x B.y2=-12x
C.y2=6x D.y2=-6x
答案:A
解析:由x24-y25=1,得a2=4,b2=5,则c
因此双曲线的右焦点的坐标为(3,0).
于是抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0).
故抛物线的方程为y2=12x.
5.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为()
A.55 B.33 C.2
答案:C
解析:取BC的中点O,连接AO,DO.如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz.
设BC=1,则A0,0,32
于是OA=
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z).
则n
不妨取x=1,则y=-3,z=1.
因而n=(1,-3,1)为平面ABD的一个法向量.
又因为OA=
所以cosn,OA=n·
因为n,OA∈[0,π],所以sinn,OA=25
故二面角A-BD-C的正弦值为25
6.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()
A.-1或3 B.1或3
C.-2或6 D.0或4
答案:D
解析:因为圆心(a,0)到直线x-y=2的距离d=|a-2|2,所以(2)2
7.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为()
A.5 B.2 C.3 D.2
答案:D
解析:如图,设双曲线E的方程为x2
由双曲线的对称性,可设点M(作MN⊥=120°,
∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°.
∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin60°=3a,
|cos∠MBN=a+2acos60°=2a.
∴M(2a,3a).
将点M(2a,3a)的坐标代入x2a2-y2b2=1,可得a
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1
A.5π12 B.π3 C.π
答案:B
解析:如图所示,S△ABC=12×3
设点O是△ABC的中心,则OP⊥平面ABC,∠OAP即为PA与平面ABC所成的角.
于是V三棱柱ABC-A1B1C1=S
∵OA=23|AD|=23|AB|·sinπ3=23×
又0∠OAPπ2,∴∠OAP=π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知圆M:关于直线x+3y-2=0对称
B.直线的相交弦长为3
C.t=yx+3的最大值为
D.x2+y2的最小值为5-2
答案:AC
解析:圆M的标准方程是((2,0),半径r=5.
易得点M(2,0)在直线到直线x+y=0的距离d=22=2,故所求弦长l=2r2-
由t=yx+3,得y=t(相切时,t取得最值,由圆心M到直线y=t(x+3)的距离d1=|2t+3t|t2+1=r=
因为|OM|=2,所以|OP|min=5-2,所以x2+y2的最小值为(5-2)2=9-45.故D错误.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点,则()
A.CD⊥AN
B.BD⊥PC
C.PB⊥平面ANMD
D.BD与平面ANMD所成的角为30°
答案:CD
解析:设BC=1,建立空间直角坐标系如图所示.
则B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0
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