押新高考第8题 函数的综合应用（解析版）.docx

押新高考8题

函数的综合应用

考点

4年考题

考情分析

函数的综合应用

2023年新高考Ⅰ卷第11题

2023年新高考Ⅱ卷第11题

2022年新高考Ⅰ卷第7、10、12题

函数的综合会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，通常伴随着导数的考查，在单选题中难度较难，纵观近几年的新高考试题，分别以导数为背景命题考查极值点、零点、函数值大小比较、函数的基本性质、最值及切线方程等知识点，本内容也是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以导数综合应用问题展开命题．

1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第11题）已知函数的定义域为，，则（????）．

A． B．

C．是偶函数 D．为的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.

【详解】方法一：

因为，

对于A，令，，故正确.

对于B，令，，则，故B正确.

对于C，令，，则，

令，

又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，

对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.

方法二：

因为，

对于A，令，，故正确.

对于B，令，，则，故B正确.

对于C，令，，则，

令，

又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，

对于D，当时，对两边同时除以，得到，

故可以设，则，

当肘，，则，

令，得；令，得；

故在上单调递减，在上单调递增，

因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

??

显然，此时是的极大值，故D错误.

故选：.

2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）若函数既有极大值也有极小值，则（????）．

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，

因此方程有两个不等的正根，

于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.

故选：BCD

3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】方法一：构造法

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

方法二：比较法

解：，，，

①，

令

则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②，

令

则，

令，所以，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以

故

4．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知函数，则（????）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

5．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.

故选：BC.

[方法三]：

因为，均为偶函数