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押新高考8题
函数的综合应用
考点
4年考题
考情分析
函数的综合应用
2023年新高考Ⅰ卷第11题
2023年新高考Ⅱ卷第11题
2022年新高考Ⅰ卷第7、10、12题
函数的综合会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查,通常伴随着导数的考查,在单选题中难度较难,纵观近几年的新高考试题,分别以导数为背景命题考查极值点、零点、函数值大小比较、函数的基本性质、最值及切线方程等知识点,本内容也是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以导数综合应用问题展开命题.
1.(2023·新高考Ⅰ卷高考真题第11题)已知函数的定义域为,,则(????).
A. B.
C.是偶函数 D.为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一:利用赋值法,结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例即可排除选项D.
方法二:选项ABC的判断与方法一同,对于D,可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一:
因为,
对于A,令,,故正确.
对于B,令,,则,故B正确.
对于C,令,,则,
令,
又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
对于D,不妨令,显然符合题设条件,此时无极值,故错误.
方法二:
因为,
对于A,令,,故正确.
对于B,令,,则,故B正确.
对于C,令,,则,
令,
又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确,
对于D,当时,对两边同时除以,得到,
故可以设,则,
当肘,,则,
令,得;令,得;
故在上单调递减,在上单调递增,
因为为偶函数,所以在上单调递增,在上单调递减,
??
显然,此时是的极大值,故D错误.
故选:.
2.(2023·新高考Ⅱ卷高考真题第11题)若函数既有极大值也有极小值,则(????).
A. B. C. D.
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数,由已知可得在上有两个变号零点,转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为,求导得,
因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,
因此方程有两个不等的正根,
于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.
故选:BCD
3.(2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题)设,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】构造函数,导数判断其单调性,由此确定的大小.
【详解】方法一:构造法
设,因为,
当时,,当时,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,所以,故,即,
所以,所以,故,所以,
故,
设,则,
令,,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,
所以当时,,
所以当时,,函数单调递增,
所以,即,所以
故选:C.
方法二:比较法
解:,,,
①,
令
则,
故在上单调递减,
可得,即,所以;
②,
令
则,
令,所以,
所以在上单调递增,可得,即,
所以在上单调递增,可得,即,所以
故
4.(2022·新高考Ⅰ卷高考真题第10题)已知函数,则(????)
A.有两个极值点 B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A,结合的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C;利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题,,令得或,
令得,
所以在,上单调递增,上单调递减,所以是极值点,故A正确;
因,,,
所以,函数在上有一个零点,
当时,,即函数在上无零点,
综上所述,函数有一个零点,故B错误;
令,该函数的定义域为,,
则是奇函数,是的对称中心,
将的图象向上移动一个单位得到的图象,
所以点是曲线的对称中心,故C正确;
令,可得,又,
当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,故D错误.
故选:AC.
5.(2022·新高考Ⅰ卷高考真题第12题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则(????)
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]:对称性和周期性的关系研究
对于,因为为偶函数,所以即①,所以,所以关于对称,则,故C正确;
对于,因为为偶函数,,,所以关于对称,由①求导,和,得,所以,所以关于对称,因为其定义域为R,所以,结合关于对称,从而周期,所以,,故B正确,D错误;
若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
故选:BC.
[方法二]:【最优解】特殊值,构造函数法.
由方法一知周期为2,关于对称,故可设,则,显然A,D错误,选BC.
故选:BC.
[方法三]:
因为,均为偶函数
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