人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 第一章过关检测(A卷).docVIP

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第一章过关检测(A卷)

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线l在平面α外,若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列选项能使l∥α的是()

A.a=(1,0,1),n=(-2,0,0)

B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)

答案:D

解析:若l∥α,则a·n=0,故选D.

2.在三棱锥A-BCD中,若△BCD为正三角形,且E为其中心,则AB+12BC

A.AB B.2BD

C.0 D.2DE

答案:C

解析:连接DE并延长,交BC于点F(图略),则由题意可知,F为BC的中点,DE=23DF,故AB

3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()

A.1 B.15

C.35 D.

答案:D

解析:因为a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),所以ka+b=(k-1,k,-2),2a-b=(3,2,2).

又ka+b与2a-b互相垂直,所以(ka+b)·(2a-b)=0,即3k-3+2k-4=0,解得k=75

4.已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是()

A.AB与

B.与AB方向相同的单位向量是(1,1,0)

C.AB与BC

D.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3)

答案:D

解析:对于A,因为A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),所以AB=(1,1,0),AC=(-1,2,1),假设存在λ∈R,使得AB=λAC,则(1,1,0)=λ(-1,2,1)=(-λ,2λ,λ),显然λ不存在,故AB与AC不是共线向量,故A错误;

对于B,因为AB=(1,1,0),所以与AB方向相同的单位向量为AB|AB|=(22,22

对于C,因为AB=(1,1,0),BC=(-2,1,1),

所以cosAB,BC=AB·BC|AB||

对于D,设n=(x,y,z)是平面ABC的法向量,则n

令x=1,则y=-1,z=3,故n=(1,-1,3)为平面ABC的一个法向量,故D正确,故选D.

5.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AB·CD等于(

A.-2 B.2

C.-23 D.23

答案:A

解析:由题意可知,AB·CD=AB·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC=|

6.已知两个平行平面α,β分别经过原点O和点A(2,1,1),且平面α的一个法向量为n=(-1,0,1),则这两个平行平面之间的距离为()

A.32 B.2

C.3 D.32

答案:B

解析:由题意可知,两个平行平面α,β之间的距离即为点A到平面α的距离.因为OA=(2,1,1),平面α的一个法向量n=(-1,0,1),所以点A到平面α的距离为|OA·n|

7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角为()

A.30° B.45° C.60° D.120°

答案:A

解析:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则P(0,0,1),C(1,2,0),故PC=(1,2,-1),

平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),

所以cosPC,n=PC·n|

设PC与平面ABCD所成的角为θ,则sinθ=|cosPC,n|=12,故θ=30°

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,B1F=λB1D1,且EF∥平面ACD1,则实数

A.15 B.1

C.13 D.

答案:B

解析:以D为原点,分别以DA,DC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).

设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C(0,b,0),D1(0,0,c),Ea,b,c2,B

所以AC=(-a,b,0),AD1=(-a,0,c),B1D1=(-a,-b,0),因为B1F=λB1D1,所以B1F=(-λa,-λb,0),所以F((1-λ)a,(1-λ)b,c),所以EF=(-λa,-λb,c2),

因为EF∥平面ACD1,所以EF⊥n,即EF·n=-λabc-λabc+abc2=0,解得λ=14,

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.在棱长为1的正方体ABCD-A