人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题 第06章 平面向量及其应用 学习单元4 6.4.3 第3课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用.docVIP

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第六章第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用

A级必备知识基础练

1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,则cosC的值为()

A.13 B.-23 C.1

2.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2π3,b=23,且△ABC的面积为3

A.3 B.4

C.21 D.33

3.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB·

A.19 B.14

C.-18 D.-19

4.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(3+1)∶2,则最大角为()

A.45° B.60°

C.75° D.90°

5.已知a,b,c分别是△ABC的三个角A,B,C的对边,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=32,则b+c的最小值为

6.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是

7.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.

(1)求cosB的值;

(2)若BA·BC=2,且b=2

8.在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②AB·AC=4;③sinπ2+2A

问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=2sinB,b=2,,求△ABC的面积.?

B级关键能力提升练

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,b=1,△ABC的面积为3,则a+b+csinA+sinB+sinC

A.2393

C.233

10.如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cosA=,该圆的直径长度为.?

11.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈π3,π

12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinA+bsinB-

(1)求C;

(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.

13.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cosC+cosAcosB=22sinAcosB.

(1)求cosB的值;

(2)若a+c=2,求b的取值范围.

14.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+c=3,cosCcosB

(1)求B的大小;

(2)若ab,b=2,求cosA+π

答案：

1.A解析∵sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,由正弦定理的推论,得a∶b∶c=3∶2∶3,

设a=3k,b=2k,c=3k(k0),则由余弦定理的推论得,cosC=a2

2.C解析∵A=2π3,b=23,且△ABC的面积为3

∴12bcsinA=332,即12×2

解得c=3.

又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=12+3-2×23×3×

∴a=21.故选C.

3.D解析由余弦定理的推论,得cosB=AB

所以AB·BC=|AB||BC|cos(π-B)=7×5×

4.C解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,

所以B不是最大角.不妨设C为最大角,A为最小角,

则A+C=120°,所以ca

解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.

5.22解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,

即bc=b2+c2-a2.

故由余弦定理的推论得,cosA=b2

∴A=π3

由三角形面积公式得12bcsinA=3

所以b+c≥22,当且仅当b=c=2时,等号成立.

6.4(22,23)解析因为C=2A,

所以sinC=sin2A=2sinAcosA,

由正弦定理得c=2acosA,所以ccosA

因为△ABC是锐角三角形,

所以C=2A∈0,π2,B=π-A-C=π-3A

所以A∈π6,π4,所以c=4cosA∈(2

7.解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,

可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,

即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.

又sinA≠0,因此cosB=13

(2)由BA·

由(1)知cosB=13

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=12,

所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.

8.解因为sinC=2sinB,b=2,所以c=2b=4.

选①:因为(b+a)