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第2讲函数的单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1,x2
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,假如存在实数M满意
条件
(1)对于随意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于随意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=eq\f(1,f(x))的单调性相反.
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=eq\r(f(x))的单调性相同.
(5)复合函数单调性的推断方法:若两个简洁函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简洁函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式
设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
3.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数肯定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值肯定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数肯定存在最大值或最小值.
一、思索辨析
推断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()
(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).()
(3)函数y=eq\f(1,x)的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).()
(4)全部的单调函数都有最值.()
(5)假如一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.()
(6)闭区间上的单调函数,其最值肯定在区间端点处取到.()
答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√
二、易错纠偏
常见误区|(1)求单调区间遗忘定义域导致出错;
(2)对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;
(3)利用单调性解不等式遗忘在单调区间内求解;
(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.
1.函数y=logeq\s\do9(\f(1,2))(x2-4)的单调递减区间为________.
答案:(2,+∞)
2.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((a-2)x,x≥2,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)-1,x2))是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-20,,2(a-2)≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)-1,))
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2,,a≤\f(13,8),))即a≤eq\f(13,8).
答案:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(13,8)))
3.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)f(2a),则实数a的取值范围是________.
解析:由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-2≤a+1≤2,,-2≤2a≤2,,a+12a,))
即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-3≤a≤1,,-1≤a≤1,,a1.))
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