2024高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值学案文.docVIP

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第2讲函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意

条件

(1)对于随意x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)对于随意x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

常用结论

1．函数单调性的常用结论

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．

(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反．

(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝eq\r(f（x）)的单调性相同．

(5)复合函数单调性的推断方法：若两个简洁函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简洁函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．

2．单调性定义的等价形式

设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.

(1)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数；

(2)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，则f(x)在闭区间[a，b]上是减函数．

3．函数最值的结论

(1)闭区间上的连续函数肯定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值肯定在端点处取得．

(2)开区间上的“单峰”函数肯定存在最大值或最小值．

一、思索辨析

推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．()

(3)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()

(4)全部的单调函数都有最值．()

(5)假如一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()

(6)闭区间上的单调函数，其最值肯定在区间端点处取到．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√

二、易错纠偏

常见误区|(1)求单调区间遗忘定义域导致出错；

(2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；

(3)利用单调性解不等式遗忘在单调区间内求解；

(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念．

1．函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－4)的单调递减区间为________．

答案：(2，＋∞)

2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2）x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x2))是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－20，,2（a－2）≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－1，))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2，,a≤\f(13,8)，))即a≤eq\f(13,8).

答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))

3．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋12a，))

即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤1，,－1≤a≤1，,a1.))